Kako riješiti kvadratne jednadžbe

Kvadratna jednadžba naziva se takva jednadžba u kojoj je najveća vrijednost stupnja varijable 2. Postoje tri osnovna načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi: Ako je moguće, razgradite kvadratnu jednadžbu za multiplikatore, za korištenje korijenske formule kvadratne jednadžbe ili dodajte na kompletan kvadrat. Želite znati kako se sve to učini? Pročitati.

Korake

Metoda 1 od 3:

Dekompozicija faktora

jedan. Pomaknite se sličnim elementima i prebacite se na jedan dio jednadžbe. Ovo će biti prvi korak, vrednost

X 2

$x ^ {2}$ Treba ostati pozitivno. Preklopite ili odbijte sve vrijednosti

X 2

$x ^ {2}$ ,

X

i konstantno, izveo sve u jednom dijelu i odlazeći 0 u drugu. Ovako se radi:

$2 X 2 - osam X - 4 = 3 X - X^{2}$ $2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}$
$2 X 2 + X^{2} - osam X - 3 X - 4 = 0$ $2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0$
$3 X 2 - jedanaest X - 4 = 0$ $3x ^ {2} -11x-4 = 0$

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 2

2. Raširite izraz na množitelje uređajima. Da biste to učinili, koristite vrijednosti

X 2

$x ^ {2}$ (3), stalne vrijednosti (-4), moraju se umnožiti i formirati -11. Evo kako to učiniti:

3 X 2

$3x ^ {2}$ Ima samo dva moguća faktora:

3 X

X

, Tako se mogu snimiti u zagradama:

(3 X \pm ?) (X \pm ?) = 0

Nadalje, zamjena multiplikatora 4, naći ćemo kombinaciju kada umnožimo -11x. Možete koristiti kombinaciju 4 i 1 ili 2 i 2, jer oboje daju 4. Zapamtite da vrijednosti moraju biti negativne, jer smo -4.

Uzorci i grešku dobivate kombinaciju

(3 X + jedan) (X - 4)

. Kada se množimo, dobivamo

3 X 2 - 12 X + X - 4

$3x ^ {2} -12x + x-4$ . Veza

- 12 X

X

, Dobijamo srednji penis

- jedanaest X

, koju smo tražili. Kvadratna jednadžba se razgrađuje na multiplikatoru.

Na primjer, isprobajte neprikladnu kombinaciju: (

(3 X - 2) (X + 2)

3 X 2 + 6 X - 2 X - 4

$3x ^ {2} + 6x-2x-4$ . Kombiniranjem, dobivamo

3 X 2 - 4 X - 4

$3x ^ {2} -4x-4$ . Iako postoje multiplikatori -4 i 2 s množenjem --4, prosječni član ne odgovara, jer smo željeli dobiti

- jedanaest X

, ali ne

- 4 X

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 3

3. Svaki izraz izjednačite u zagrade na nulu (kao zasebne jednadžbe). Pa ćemo pronaći dva značenja

X

, na kojoj je sva jednadžba nula,

(3 X + jedan) (X - 4)

= 0. Sada ostaje da se izjednači sa nuli svaki od izraza u zagradama. Zašto? Činjenica je da je rad jednak nuli kada je barem jedan od multiplikatora nula. Kao

(3 X + jedan) (X - 4)

jednako je nula, a zatim ili (3x + 1) ili (x - 4) je nula. Zapisati

3 X + jedan = 0

X - 4 = 0

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 4

4. Odredite svaku jednadžbu zasebno. U kvadratnoj jednadžbi X ima dvije vrijednosti. Odlučite jednadžbe i zapišite x vrijednosti:

Odlučite jednadžbu 3x + 1 = 0

3x = -1 ..... oduzimanjem

3x / 3 = -1/3 ..... po diviziji

x = -1/3 ..... Nakon pojednostavljenja

Odlučite jednadžbu x - 4 = 0

X = 4 ..... oduzimanjem

x = (-1/3, 4)..... Moguće vrijednosti, i.e. x = -1/3 ili x = 4.

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 5

pet. Provjerite x = -1/3, zamjenjujući ovu vrijednost u (3x + 1) (x - 4) = 0:

(3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4) ?=? 0 ..... zamjenom

(-1 + 1) (- 4 1/3) ?=? 0 ..... Nakon pojednostavljenja

(0) (- 4 1/3) = 0 ..... Nakon množenja

0 = 0, dakle, x = -1/3 - tačan odgovor.

Slika pod nazivom Riješite kvadratne jednadžbe Korak 6

6. Provjerite x = 4, zamjenjujući ovu vrijednost u (3x + 1) (x - 4) = 0:

(3 [4] + 1) ([4] - 4) ?=? 0 ..... zamjenom

(13) (4 - 4) ?=? 0 ..... Nakon pojednostavljenja

(13) (0) = 0 ..... Nakon množenja

0 = 0, dakle, x = 4 - tačan odgovor.

Tako su oba rješenja vjerna.

Metoda 2 od 3:

Upotreba korijena kvadratne jednadžbe

jedan. Kombinujte sve članove i zapišite jednadžbu s jedne strane. Spremite vrijednost

X 2

$x ^ {2}$ pozitivno. Zapišite članove kako biste smanjili stupnjeve, pa član

X 2

$x ^ {2}$ prvo napisano

X

A zatim stalni:

4x - 5x - 13 = x -5
4x - X - 5X - 13 +5 = 0
3x - 5x - 8 = 0

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 8

2. Snimite korijenu formulu kvadratne jednadžbe. Formula ima sljedeći obrazac:

- B \pm \sqrt{B} 2 - 4 SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: C 2 SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:

${ Frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}$

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 9

3. Odredite vrijednosti A, B i C u kvadratnoj jednadžbi. Varijabla SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: - Koeficijent člana X, B - član X, C - trajno. Za jednadžbu 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 i c = -8. Zapisati.

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 10

4. Odmažite vrijednosti a, b i c do jednadžbe. Znajući vrijednosti tri varijable, možete ih zamijeniti jednadžbi na sljedeći način:

{-b +/- √ (B - 4AC)} / 2

{- (- 5) +/- √ ((-5) - 4 (3) (- 8))} / 2 (3) =

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3)

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 11

pet. Prebrojati. Zamjena značenja, pojednostavite prednosti i nedostatke, pomnožite ili podignete preostale članove:

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3) =

{5 +/- √ (25 + 96)} / 6

{5 +/- √ (121)} / 6

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 12

6. Pojednostavite kvadratni korijen. Ako je broj pod znakom kvadratnog korijena - kvadrat, dobit ćete cijeli broj. Ako ne, pojednostavite ga na najjednostavniju vrijednost korijena. Ako je broj negativan, I sigurni ste da bi to trebao biti negativan, Tada će korijeti biti složeni. U ovom primjeru, √ (121) = 11. Možete zapisati taj x = (5 +/- 11) / 6.

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 13

7. Pronađite pozitivna i negativna rješenja. Ako ste izbrisali kvadratni korijenski znak, možete nastaviti dok ne pronađete pozitivne i negativne vrijednosti x. Imate (5 +/- 11) / 6, možete napisati:

(5 + 11) / 6

(5 - 11) / 6

Slika pod nazivom Riješite kvadratne jednadžbe 1. korak 14

osam. Pronađite pozitivne i negativne vrijednosti. Samo broji:

(5 + 11) / 6 = 16/6

(5-11) / 6 = -6/6

Slika pod nazivom Riješite kvadratne jednadžbe 1. korak 15

devet. Pojednostaviti. Za to samo podijelite i za najveći zajednički razvodnik. Prvi frakcija je podijeljena sa 2, nađeno je drugi do 6, x.

16/6 = 8/3

-6/6 = -1

x = (-1, 8/3)

Metoda 3 od 3:

Dodatak punom trgu

jedan. Prenijeti sve članove na jednu stranu jednadžbe. SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: ili x bi trebao biti pozitivan. To se radi ovako:

2x - 9 = 12x =
2x - 12x - 9 = 0

U ovoj jednačini SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:: 2, B: -12,C: -Nine.

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 17

2. Prenijeti penis C (konstantno) na drugu stranu. Stalni je član jednadžbe koja sadrži samo numeričku vrijednost bez varijabli. Prenesite ga na desnu stranu:

2x - 12x - 9 = 0

2x - 12x = 9

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 18

3. Podijelite oba dijela na koeficijent SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: ili X. Ako X nema koeficijent, onda je jednak jednom i ovaj korak se može preskočiti. U našem primjeru svi članovi dijele 2:

2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =

X - 6x = 9/2

Slika pod nazivom Riješite kvadratne jednadžbe 1. korak 19

4. Podijeliti B Na 2, uzmite kvadrat i dodajte na obje strane. U našem primjeru B jednak -6:

-6/2 =3 =

(-3) = 9 =

X - 6x + 9 = 9/2 + 9

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 20

pet. Slične obje strane. Rano članovi lijeve strane i ispale (X-3) (X-3), ili (X-3). Preklopite članove udesno i dobiti 9/2 + 9 ili 9/2 + 18/2, što je 27/2.

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 21

Uklonite kvadratni korijen iz oba dijela. Kvadratni korijen od (X-3) je jednostavno jednak (X-3). Kvadratni korijen od 27/2 može se napisati kao ± √ (27/2). Dakle, X - 3 = ± √ (27/2).

Slika pod nazivom Rešavanje kvadratnih jednadžbi Korak 22

Pojednostavite ekspresiju hranjenja i pronađite X. Da biste pojednostavili ± √ (27/2), pronađite cijeli kvadrat u brojevima 27 i 2 ili njihovim multiplikatorima. U 27. nalazi se puni kvadrat 9, jer 9 x 3 = 27. Da biste iznijeli 9 iz korijenskog znaka, uklonite korijen iz njega i uklonite 3 iz korijenskog znaka. Ostavite 3 u frakcijama na brojevima pod korijenskim znakom, jer se ovaj multiplikator ne može naučiti, a također ostaviti 2 u nastavku. Zatim prenesite stalni 3 lijevog dijela jednadžbe udesno i zapišite dva rješenja za X:

x = 3 + (√6) / 2

X = 3 - (√6) / 2)

Savjeti

Ako broj ispod korijena nije puni kvadrat, posljednjih nekoliko koraka se izvodi malo drugačije. Evo primjera:
Kao što vidite, korijenski znak nije nestao. Takva slika članova u brojeve brojčana ne može se kombinovati. Tada nema smisla prekinuti plus ili minus. Umjesto toga, dijelimo bilo koje zajedničke množitelje - ali samo Ako je multiplikator uobičajen za konstantno i Koeficijent korijena.