Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe: 8 koraka

Trigonometrijska jednadžba sadrži jednu ili više trigonometrijskih funkcija varijable "x" (ili bilo koje druge varijable). Rješenje trigonometrijske jednadžbe je pronaći takvu vrijednost "x", koja zadovoljava funkcije (funkcije) i jednadžbu općenito.

Rješenja trigonometrijskih jednadžbi izražavaju se u stupnjevima ili radijanima. Primjeri:

x = π / 3- x = 5π / 6- x = 3π / 2-x = 45 degreeh = 37.12 destruk = 178,37 stepeni.

Napomena: Vrijednosti trigonometrijskih funkcija iz uglova izraženih u radijanima i iz uglova izraženih u stupnjevima jednake su. Trigonometrijski krug s polumjerom koji je jednak jednom, služi za opisivanje trigonometrijskih funkcija, kao i provjeriti ispravnost rješenja glavnih trigonometrijskih jednadžbi i nejednakosti.
Primjeri trigonometrijskih jednadžbi:

SIN X + SIN 2x = 1/2-TG X + CTG X = 1.732;
Cos 3x + sin 2x = cos x-2sin 2x + cos x = 1 .

TRIGONONOMETRIJSKI KRUG SA RADIJUSOM jednakom jednom (jednokrevetni krug).
Ovo je krug s radijusom jednakom jednom, a središta u točki o. Jedan krug opisuje 4 osnovne trigonometrijske funkcije varijable "X", gdje je "X" ugao broje se iz pozitivnog smjera u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Ako je "X" neki ugao na jednom krugu, a zatim:
Vodoravna os OAH definira funkciju F (x) = Compi.
Vertikalna os ovy definira funkciju f (x) = grijeh x.
Vertikalna os u definira funkciju f (x) = tg x.
Vodoravna os BU određuje funkciju F (x) = CTG X.

Jedinični krug koristi se i u rješavanju glavnih trigonometrijskih jednadžbi i nejednakosti (postoje različite odredbe "X").

Korake

jedan. Koncept rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, pretvorite ga u jednu ili više glavnih trigonometrijskih jednadžbi. Rješenje trigonometrijske jednadžbe u konačnici se svodi na rješavanje četiri glavne trigonometrijske jednadžbe.

Slika pod nazivom Rešavanje trigonometrijskih jednadžbi Korak 2

2. Rješenje glavnih trigonometrijskih jednadžbi.

Postoje 4 vrste osnovnih trigonometrijskih jednadžbi:

SIN X = A- cos x = a

Tg x = a- ctg x = a

Rješenje glavnih trigonometrijskih jednadžbi podrazumijeva razmatranje različitih odredbi "X" na jednom krugu, kao i korištenje tablice pretvorbe (ili kalkulatora).

Primjer 1. SIN X = 0,866. Koristeći tablicu konverzije (ili kalkulator), dobit ćete odgovor: x = π / 3. Jedan krug daje još jedan odgovor: 2π / 3. Zapamtite: Sve trigonometrijske funkcije su periodične, odnosno njihove vrijednosti se ponavljaju. Na primjer, frekvencija SIN X i COS X je 2πn, a frekvencija TG X i CTG X jednaka je πn. Stoga je odgovor napisan na sljedeći način:

x1 = π / 3 + 2πn- x2 = 2π / 3 + 2πn.

Primer 2. Cos x = -1/2. Koristeći tablicu konverzije (ili kalkulator), dobit ćete odgovor: x = 2π / 3. Jedan krug daje drugi odgovor: -2π / 3.

x1 = 2π / 3 + 2π x2 = -2π / 3 + 2π.

Primjer 3. TG (X - π / 4) = 0.

Odgovor: x = π / 4 + πn.

Primjer 4. CTG 2x = 1.732.

Odgovor: X = π / 12 + πn.

Slika pod nazivom Rešavanje trigonometrijske jednadžbe Korak 3

3. Transformacija koja se koristi u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi.

Za transformaciju trigonometrijskih jednadžbi koriste se algebarske transformacije (raspadanje na multiplikatoru, dovođenje homogenih članova i t.D.) i trigonometrics.

Primjer 5. Korištenje trigonometrijskog identiteta, sin X + SIN 2x + sin 3x = 0 Jednadžba se pretvara u 4cos x * JIN jednadžbe (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Dakle, sljedeće glavne trigonometrijske jednadžbe treba riješiti: cos x = 0- grijeh (3x / 2) = 0- cos (x / 2) = 0.

Slika pod nazivom Rešavanje trigonometrijskih jednadžbi Korak 4

4. Pronalaženje ugla poznatih vrijednosti funkcija.

Prije proučavanja metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi, morate naučiti kako pronaći uglove u skladu s poznatim vrijednostima funkcija. To se može učiniti pomoću tablice pretvorbe ili kalkulatora.

Primjer: cos x = 0,732. Kalkulator će dati odgovor x = 42,95 stepeni. Jedan krug dat će dodatne uglove čija je kosine jednaka 0,732.

Slika pod nazivom Rešavanje trigonometrijskih jednadžbi Korak 5

pet. Postuliraju odluku o jednom krugu.

Možete odgoditi čvrstu konfiguracijsku jednadžbu jednog kruga. Rješenja trigonometrijske jednadžbe na jednom krugu su vrhovi ispravnog poligona.

Primjer: rješenja x = π / 3 + πn / 2an Jedan krug su vrhovi kvadrata.

Primjer: rješenja X = π / 4 + πn / 35 Jedan krug je vrhovi ispravnog šesterokuta.

Slika pod nazivom Riješavanje trigonometrijskih jednadžbi Korak 6

6. Metode za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi.

Ako ova trigonometrijska jednadžba sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju, riješite ovu jednadžbu kao glavnu trigonometrijsku jednadžbu. Ako ova jednadžba uključuje dvije ili više trigonometrijskih funkcija, postoje 2 metode za rješavanje takve jednadžbe (ovisno o mogućnosti njene transformacije).

1. metoda 1.

Pretvorite ovu jednadžbu u jednadžbu obrasca: F (x) * g (x) * h (x) = 0, gdje f (x), h (x) - glavne trigonometrijske jednadžbe.

Primjer 6. 2cos x + sin 2x = 0.(0 < x>

Rješenje. Korištenje formule dvostrukog ugla sin 2x = 2 * SIN X * cos, zamijenite sin 2x.

2SSS X + 2 * SIN X * COS X = 2COS X * (SIN X + 1) = 0. Sada odlučite dvije glavne trigonometrijske jednadžbe: cos x = 0 i (grijeh x + 1) = 0.

Primjer 7.Cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0 < x>

Rješenje: Korištenje trigonometrijskog identiteta, pretvorena jednadžba na jednadžbu obrasca: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Sada odlučite dvije glavne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.

Primjer 8.SIN X - SIN 3X = COS 2x .(0 < x>

Rješenje: Korištenje trigonometrijskog identiteta, pretvorena jednadžba na jednadžbu tipa: -cos 2x * (2Sin x + 1) = 0. Sada odlučite dvije glavne trigonometrijske jednadžbe: cos 2x = 0 i (2Sin x + 1) = 0.

2. metoda 2.

Pretvorite ovu trigonometrijsku jednadžbu na jednadžbu koja sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju. Zatim zamijenite ovu trigonometrijsku funkciju na neki nepoznati, na primjer, t (sin x = t- cos x = t- cos 2x = t, tg x = t- tg (x / 2) = t i t.D.).

Primjer 9. 3Sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < x>

Rješenje. U ovoj jednadžbi zamijenite (cos ^ 2 x) na (1 - sin ^ 2 x) (prema identitetu). Transformirana jednadžba je:

3Sin ^ 2 x - 2 + 2Sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamijenite grijeh x na t. Sada je jednadžba: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ovo je kvadratna jednadžba koja ima dva korijena: T1 = -1 i T2 = 9/5. Drugi korijen T2 ne zadovoljava vrijednosti vrijednosti funkcija (-1 < sin>

Primjer 10. TG X + 2 TG ^ 2 X = CTG X + 2

Rješenje. Zamjena x na t. Prepišite početnu jednadžbu u sljedećem obrascu: (2t + 1) (T ^ 2 - 1) = 0. Sada pronađite t, a zatim pronađite x za t = tg x.

Slika pod nazivom Riješite trigonometrijske jednadžbe Korak 7

7. Posebne trigonometrijske jednadžbe.

Postoji nekoliko posebnih trigonometrijskih jednadžbi koje zahtijevaju posebne transformacije. Primjeri:

* SIN X + B * cos X = C - A (grijeh x + cos x) + b * cos x * sin x = c;

* SIN ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

Slika pod nazivom Rešavanje trigonometrijske jednadžbe Korak 8

osam. Periodičnost trigonometrijskih funkcija.

Kao što je već spomenuto, ekstrarigonometrijske funkcije su periodične, odnosno njihove vrijednosti se ponavljaju nakon određenog perioda. Primjeri:

Funkcija funkcija (x) = SIN X je 2π.

Funkcija funkcijaF (x) = TG X je jednaka π.

Funkcija funkcijaF (x) = SIN 2x je jednak π.

Funkcionalna funkcijaF (x) = cos (x / 2) je 4π.

Ako je razdoblje naveden u zadatku, izračunajte vrijednost "x" u ovom periodu.

Napomena: TRIGONONOMETRIJSKI RJEŠENJE TRGOVINA - težak zadatak koji često dovodi do grešaka. Stoga pažljivo provjerite odgovore. Da biste to učinili, možete koristiti grafički kalkulator za izgradnju grafikona ove jednadžbe R (x) = 0. U takvim slučajevima, rješenja će biti predstavljena u obliku decimalnih frakcija (to jest, π zamjenjuje se za 3.14).