Kako se razgraditi višestruki polinomi (kvadratna jednadžba)

Polinom sadrži varijablu (x), podignuta u diplomu i nekoliko članova i / ili besplatnih članova. Dekompozicija polinoma na množiteljima - dijeljenje u kratke i jednostavne polinoma, koji se množe jedna s drugim. Sposobnost širenja polinoma za množitelje potrebna je dovoljno matematičkog znanja i vještina.

Korake

Metoda 1 od 7:

Primarni koraci

jedan. Zapišite jednadžbu. Standardni oblik kvadratnog jednadžbe:

AX + BX + C = 0
Rasporedite članove koji počinju s najvišim redoslijedom. Razmotrite primjer:

6 + 6x + 13x = 0
Dajte ovu jednadžbu standardnom obliku kvadratne jednadžbe (jednostavno promjenom mjesta članica):

6x + 13x + 6 = 0

Slika pod nazivom faktor drugi stupnjevi polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 2

2. Raširite na množitelje koristeći jednu od donjih metoda. Dekompozicija polinoma na multiplikatoru je cijepanje s kratkim i jednostavnim polinomima koji se pomnoženi jedni s drugima.

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
U ovom primjeru, zbijeni (2x +3) i (3x + 2) su multiplikatori originalnog polinoma 6x + 13x + 6.

Slika pod nazivom Faktor drugi stupnjevi polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 3

3. Pogledajte rad množiteljama članova i dodavanjem istih (sličnih) članova.

(2x + 3) (3x + 2)

6x + 4x + 9x + 6

6x + 13x + 6

(gdje su 4 i 9x slični članovi). Dakle, pravilno smo razgradili polinom za množine, jer smo sa njihovim množenjem primili originalni polinom.

Metoda 2 od 7:

Rješenje i rješenja za grešku

Ako vam se daje prilično jednostavan polinom, možete ga samostalno razgraditi na multiplikatoru. Na primjer, iskusni matematičari mogu odmah odrediti koji polinom 4x + 4x + 1 Ima množitelje (2x + 1) i (2x + 1). (Napomena, ova metoda neće biti tako jednostavna prilikom raspada složeniji polinoma.) Razmotrite primjer:

3x + 2x - 8

jedan. Zapišite par faktora koeficijenata SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i C. Koristeći izraz pogleda AX + BX + C = 0, Odredite koeficijente SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i C. U našem primjeru

A = 3 i višestruko: 1 * 3
C = -8 i multiplikatori: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.

Slika pod nazivom Faktor drugi stepen polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 5

2. Napišite dva para zagrade sa razmacima, a čime se pronađu besplatni članovi:

(x) (x)

Slika pod nazivom Faktor drugi stepen polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 6

3. Prednji X Stavite par faktora za koeficijent SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:. U našem primjeru takav par je samo jedan:

(3x) (1x)

Slika pod nazivom Faktor drugi stupnjevi polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 7

4. Poslije X Stavite par multiplikatora za sa. Pretpostavimo da uzmemo 8 i 1. Dobijamo:

(3xosam) (Xjedan)

Slika pod nazivom faktor drugi stupnjevi polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 8

pet. Odlučite koji znak da stave između X i brojevi (besplatni članovi). Ovisno o znakovima u izvornom jednadžbi, možete definirati znakove pred besplatnim članovima. Označite slobodne članove u našim biccins-množiteljima kroz H i K:

Ako se AX + BX + C, tada (x + h) (x + k)
Ako se sjekira BX - C ili AX + BX - C, zatim (x - h) (x + k)
Ako se AX - BX + C, tada (X - H) (X - K)
U našem primjeru 3x + 2x - 8, dakle (x - h) (x + k) i

(3x + 8) (X - 1)

Slika pod nazivom Faktor drugi stupanj polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 9

6. Provjerite rezultate pokretnim izrazima u zagradama. Ako je drugi član već (iz varijable x) netačan (bez obzira, negativnog ili pozitivnog), izabrali ste ne par multiplikatora C.

(3x + 8) (X - 1)

3x - 3x + 8x - 8

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8Paključci, prilikom množenja multiplikatora, dobivamo izraz koji nije jednak početnom znači da smo odabrali par faktora.

Slika pod nazivom Faktor drugi stepen polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 10

7. Promijenite nekoliko multiplikatora C. U našem primjeru, uzmite 2 i 4 umjesto 1 i 8.

(3x + 2) (x - 4)
Sad C = -8. Međutim (3x * -4) + (2 * x) = -12x + 2x = -10x, odnosno sada B = -10x, i u početnoj jednadžbi B = 2x (pogriješilo se B).

Slika pod nazivom Faktor drugi stepen polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 11

osam. Promenite postupak za množitelje. Mi mijenjamo mjesta 2 i 4:

(3x + 4) (x - 2)
C Što treba biti (4 * -2 = -8). -6x + 4x dajte nam ispravnu vrijednost (2x), ali pogrešan znak ispred njega (-2x umjesto + 2x).

Slika pod nazivom faktor drugi stupnjevi polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 12

devet. Promjena znakova. Postupak članova u zagradama ostavlja isti, ali promijenite znakove:

(3x - 4) (x + 2)
C Šta bi trebalo biti (-8), i

B= 6x - 4x = 2x
2x = 2xPo potrebi. Tako smo pronašli prave faktore izvorne jednadžbe.

Metoda 3 od 7:

Rješenje razgradnjom

Pomoću ove metode možete definirati sve faktore koeficijenata SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i C i koristite ih prilikom pronalaska multiplikatora ove jednadžbe. Ako su brojevi veliki ili ste umorni od pogodnosti, koristite ovako. Razmotrite primjer:

6x + 13x + 6

jedan. Pomnožite koeficijent SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: (6 u našem primjeru) na koeficijentu C (takođe 6 u našem primjeru).

6 * 6 = 36

Slika pod nazivom faktor drugi stupnjevi polinomi (kvadratne jednadžbe) korak 14

2. Pronađite koeficijent B Dekompozicija multiplikatora i praćenja provjere. Tražimo dva broja koja, u množini daju rezultat jednaku rezultatu množenja SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: * C (u našem primjeru 36), a pri dodavanju rezultirat će rezultatom jednakim koeficijentu B (u našem primjeru 13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Slika pod nazivom Faktor drugi stepen polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 15

3. Zamjena dva broja pronađena u izvornom jednadžbi kao sumu (koja je jednaka) B). Označavaju pronađene brojeve K i H (Postupak nije važan):

AX + KX + HX + C
6x + 4x + 9x + 6

Slika pod nazivom faktor drugi stupnjevi polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 16

4. Raširite polinom za grupe članica grupe. Članovi grupe originalne jednadžbe kako bi izdržali najveće opće multiplikatore prve dvije i poslednje dva člana. Istovremeno, izrazi u oba nosača trebaju biti isti. Uobičajeni multiplikatori organizuju u izrazu i množi se na isti izraz u zagradama.

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 4 od 7:

Trostruko metoda

Vrlo sličan metodi raspada. Ova metoda smatra mogućem faktore rezultata množenja SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: na C i koristi ih da pronađu vrijednost B. Razmotrite primjer: 8x + 10x + 2

jedan. Pomnožiti SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: (8 u primjeru) na C(2 u primjeru).

8 * 2 = 16

Slika pod nazivom Faktor drugi stepen polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 18

2. Pronađite dva broja koja će dati 16 pomnožavati, a rezultat je od kojih je rezultat jednak koeficijentu B (10 u primjeru).

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Slika pod nazivom Faktor drugi stepen polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 19

3. Pronašli su dva broja (označite ih H i K) Zamjena u sljedeću jednadžbu (formula "trostrukoj metodi"):

((AX + H) (AX + K)) / A

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Slika pod nazivom Faktor drugi stepen polinomi (kvadratne jednadžbe) korak 20

4. Saznajte koji izraz u obje nosače u potpunosti se podijeli SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:. U našem primjeru ovaj izraz je (8x + 8). Podijelite ovaj izraz na SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:, I ostavite izraz drugog nosača kao i to.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Podijelite ovaj izraz na 8 (SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:) i dobiti (x + 1)

Slika pod nazivom faktor drugi stupnjevi polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 21

pet. Uzmite najveći zajednički razdjelnik (čvor) iz bilo koje ili oba nosača (ako jeste). U našem primjeru čvor izražavanja iz drugih nosača je 2 (od 8x + 2 = 2 (4x + 1)). Tako imamo

2 (x + 1) (4x + 1)

Metoda 5 od 7:

Kvadratne razlike

Neki polinomski koeficijenti mogu se identificirati kao "kvadrati" (rad dva identična broja). Pronalaženje "kvadrata" omogućava vam ubrzavanje raspadanja polinoma na množitelje. Razmotrite primjer:

27x - 12 = 0

jedan. Izvršite najčešći zajednički razdjelnik za nosače (ako jeste). U našem primjeru, 27 i 12 podijeljeni su u 3.

27x - 12 = 3 (9x - 4)

Slika pod nazivom Faktor drugi stepen polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 23

2. Odredite da je početna jednadžba razlika dva kvadrata.Jednadžba mora imati dva člana iz kojih se kvadratni korijen može ukloniti.

9x = 3x * 3x i 4 = 2 * 2 (imajte na umu da smo ispustili minus znak)

Slika pod nazivom Faktor drugi stepen polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 24

3. Zamjenske vrijednosti SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i C U izrazu obrasca:

(√ (a) + √ (c)) (√ (a) - √ (c))

U našem primjeru SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: = 9 I C = 4, √SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: = 3 i √C = 2. Tako,

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 6 od 7:

Formula za rješavanje kvadratne jednadžbe

Ako druge metode ne rade, a polinom ne razgrađuje na faktorima, koristite rješenja kvadratne jednadžbi. Razmotrite primjer:

X + 4x + 1 = 0

jedan. Pošaljite odgovarajuće vrijednosti u formuli:

x = -b ± √ (B - 4AC)
---------------------
2a
Dobijamo izraz:

X = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2

Slika pod nazivom Faktor drugi stepen polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 26

2. Pronaći X. Morate dobiti dva značenja X. Kao što je prikazano gore, nalazimo dva rješenja:

X = -2 + √ (3) ili X = -2 - √ (3)

Slika pod nazivom Faktor drugi stepen polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 27

3. Pronađena su zamjenske vrijednosti X umjesto H i K U izrazu obrasca:

(X - h) (x - k)

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metoda 7 od 7:

Kalkulator

Ako možete koristiti grafički kalkulator, značajno će pojednostaviti proces raspadanja polinoma na množitelje. Ispod su upute za grafički kalkulator ti. Razmotrite primjer:

Y = x - x - 2

jedan. Unesite svoju jednadžbu u [y =].

Slika pod nazivom Faktor drugi stupanj Polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 29

2. Pritisnite [Grafikon] za izgradnju grafikona jednadžbe. Vidjet ćete glatku krivulju (u našem slučaju parabola, jer je ovo kvadratna jednadžba).

Slika pod nazivom Faktor drugi stupnjevi polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 30

3. Pronađite tačke raskrsnice parabole sa osi X. Pa ćete pronaći vrijednosti X.

(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2

Ako vizuelno ne možete odrediti koordinate, pritisnite [2.], a zatim [Trace]. Kliknite [2] ili odaberite "nula". Umetnite kursor na levo raskrižje i pritisnite [ENTER]. Umetnite kursor na desnu raskrižju i pritisnite [ENTER]. Sam kalkulator određuje vrijednosti X.

Slika pod nazivom Faktor drugi stepen polinomi (kvadratne jednadžbe) Korak 31

4. Zamjenske vrijednosti X umjesto H i K U izrazu obrasca:

(x - h) (x - k) = 0

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Savjeti

Ako imate grafički TI-84 kalkulator, za njega postoji program rješavanja koji rješava kvadratne jednadžbe (i opće jednadžbe bilo koje mjere).
Ako član nije u polinom, koeficijent je jednak 0. Ako imate takav slučaj, korisno je prepisati jednadžbu u obliku:

x + 6 = x + 0x + 6
Ako ste položili polinom uz pomoć formule za rješavanje kvadratnog jednadžbe i dobio je odgovor na korijenje, pretvorbu vrijednosti X u frakciji za provjeru.
Ako sa nepoznatom (varijabla) nema koeficijenta, jednak je 1.

x = 1x
Vremenom ćete naučiti da držite metodu uzoraka i grešaka u mojoj glavi. I do tada je napišite.

Upozorenja

Ako proučite raspadanje polinoma u nastavi, koristite metodu koja savjetuje učitelju, a ne onu koja vam se sviđa. Nastavnik na ispitu može zahtijevati upotrebu bilo kojeg određenog načina i može zabraniti korištenje grafičkog kalkulatora.