Kako riješiti jednadžbe sa korijenom (sa ilustracijama)

Iako zastrašujuća vrsta kvadratnog korijena i može učiniti čovjeka, a ne jak u matematici, zadaci sa kvadratnim korijenjem nisu tako teški, jer se možda prvo može izgledati. Jednostavni zadaci sa kvadratnim korijenom često se često mogu riješiti kao uobičajeni zadaci s množenjem ili podjelom. S druge strane, složeniji zadaci mogu zahtijevati neki napor, ali s pravim pristupom, čak i oni neće te citirati. Počnite rješavati zadatke sa korijenom danas kako biste saznali ovu radikalnu novu matematičku sposobnost!

Korake

Dio 1 od 3:

Razumijevanje kvadrata brojeva i kvadratnih korijena

jedan. Izgradite broj na kvadratu, pomnožite ga sama po sebi. Da bi se razumjeli kvadratni korijeni, bolje je započeti s kvadratima brojeva. Trgovi brojeva su prilično jednostavni: izgradnja broja na kvadratu znači umnožavanje po sebi. Na primjer, 3 na trgu isti je kao 3 × 3 = 9, a 9 na trgu je isto kao 9 × 9 = 81. Trgovi su označeni pisanjem malog broja "2" s desne strane iznad je sukobi. Primjer: 3, 9, 100, i tako dalje.

Pokušajte izgraditi još nekoliko brojeva na kvadrat da biste isprobali ovaj koncept. Zapamtite, montaža broja na kvadratu znači da bi ovaj broj trebao umnožiti sama po sebi. To se može učiniti čak i za negativne brojeve. U ovom slučaju, rezultat će uvijek biti pozitivan. Na primjer: -8 = -8 × -8 = 64.

Slika pod nazivom Soling kvadratni korijenski problemi Korak 2

2. Kada je u pitanju kvadratni korijeni, tada se nalazi obrnuti proces izgradnje kvadrata. Simbol korijena (√, naziva se i radikalno) u suštini znači suprotno od simbola . Kad vidite radikal, morate se zapitati: "Koji se broj može pomnožiti sama da biste dobili broj ispod korijena?". Na primjer, ako vidite √ (9), tada morate pronaći broj koji bi, kada smo na trgu, dao broj devet. U našem slučaju ovaj će broj biti tri, jer 3 = 9.

Razmotrite još jedan primjer i pronađite korijen od 25 (√ (25)). To znači da moramo pronaći broj koji nam je na trgu dao 25. Od 5 = 5 × 5 = 25, možemo to reći √ (25) = 5.

O tome možete razmisliti kao "opoziv" izgradnje kvadrata. Na primjer, ako trebamo pronaći √ (64), kvadratni korijen 64, onda razmislimo o tome, kao oko 8. Budući da simbol korijena "otkazuje" izgradnju kvadrata, možemo reći da je to √ (64) = √ (8) = 8.

Slika pod nazivom Soling kvadratni korijenski problemi Korak 3

3. Znajte razliku između idealne i ne savršene konstrukcije na trgu. Do sada su odgovori na naše zadatke sa korijenom bili dobri i okrugli brojevi, ali nije uvijek tako. Kvadratni korijenski zadaci Odgovori mogu biti vrlo dugi i neugodni brojevi s decimalnom frakcijom. Brojevi čiji je korijen cijeli brojevi (drugim riječima, brojevi koji nisu frakcije) nazivaju se puni kvadrati. Svi gore navedeni primjeri (9, 25 i 64) su kompletni kvadrati, jer će njihov korijen biti cijeli broj (3,5 i 8).

S druge strane, brojevi koji tokom izgradnje korijena ne daje cijeli broj, nazivaju se nepotpunim kvadratima. Ako stavite jedan od tih brojeva pod korijenom, tada ćete dobiti broj s decimalnom frakcijom. Ponekad takav broj može biti jako dug. Na primjer, √ (13) = 3,605551275464...

Slika pod nazivom Soling Tračni korijenski problemi Korak 4

4. Zapamtite prvih 1-12 punih kvadrata. Kao što ste vjerovatno već primijetili, pronađite puni kvadratni korijen je prilično jednostavan! Zbog činjenice da su ovi zadaci tako jednostavni, vrijedi pamtiti korijene prvih desetaka punih trgova. Nećete još jednom naići na ove brojeve, tako da provedete malo vremena da se sjetite rano i uštedite vrijeme u budućnosti.

1 = 1 × 1 = jedan

2 = 2 × 2 = 4

3 = 3 × 3 = devet

4 = 4 × 4 = šesnaest

5 = 5 × 5 = 25

6 = 6 × 6 = 36

7 = 7 × 7 = 49

8 = 8 × 8 = 64

9 = 9 × 9 = 81

10 = 10 × 10 = 100

11 = 11 × 11 = 121

12 = 12 × 12 = 144

Slika pod nazivom Soling Tračni korijenski problemi Korak 5

pet. Pojednostavite korijene uklanjanjem punih kvadrata iz njega, ako je moguće. Pronađite nepotpuni kvadratni korijen ponekad ne može biti jednostavan, pogotovo ako ne koristite kalkulator (u donjem odjeljku naći ćete nekoliko trikova, kako olakšati ovaj proces). Međutim, često je moguće pojednostaviti broj pod korijenom tako da je lakše raditi s tim. Da biste to učinili, samo trebate podijeliti broj pod korijen na faktore, a zatim pronaći korijen multiplikatora, koji je kompletan kvadrat i napišite ga izvan korijena. Lakše je nego što se čini. Pročitajte dalje da biste dobili više informacija.

Pretpostavimo da moramo pronaći kvadratni korijen 900. Na prvi pogled čini se prilično ozbiljnim! Međutim, neće biti tako teško ako podijelimo broj 900 za množitelje. Poljoprivrednici su brojevi koji se pomnožeju jedni s drugima kako bi dali novi broj. Na primjer, broj 6 može se dobiti, množenje 1 × 6 i 2 × 3, njegovi multiplikatori bit će brojevi 1, 2, 3 i 6.

Umjesto da tražite korijen broja 900, što je malo teško, popijemo 900, kao umnožavanje 9 × 100. Sada kada je broj 9, koji je puni kvadrat, odvojen od 100, možemo pronaći njegov korijen. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Drugim riječima, √ (900) = 3√ (100).

Možemo i dalje ići još više, dijeliti 100 do dva faktora, 25 i 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Stoga možemo reći da √ (900) = 3 (10) = 30

Slika pod nazivom Soling kvadratni korijenski problemi Korak 6

6. Koristite imaginarni brojevi da biste pronašli korijen negativnog broja. Zapitajte se koji je broj kada će se umnožiti sama -16? To nije 4, a ne -4, jer će nam izgradnja ovih brojeva na trgu pružiti pozitivan broj 16. Predao se? U stvari, ne postoji način da napišete root -16 ili bilo koji drugi negativan broj običnih brojeva. U ovom slučaju moramo zamijeniti imaginarnu brojeve (obično u obliku slova ili znakova) tako da su umjesto korijena negativnog broja. Na primjer, varijabla "I" obično se koristi za izgradnju korijena broja11. U pravilu će korijen negativnog broja uvijek biti imaginarni broj (ili uključen u njega).

Znajte da iako imaginarni brojevi ne mogu biti zastupljeni konvencionalnim brojevima, oni se i dalje mogu tretirati kao takav. Na primjer, kvadratni korijen negativnog broja može se podići na kvadrat kako bi se tim negativnim brojevima, kao i bilo koji drugi kvadratni korijen. Na primjer, i = -jedan

Dio 2 od 3:

Koristeći algoritam pinspible division

jedan. Zapišite zadatak korijenom poput zadatka dijeljenja stupca. Iako može potrajati puno vremena, tako da možete riješiti problem korijenom nepotpunih kvadrata, bez pribjegavanja pomoći kalkulatora. Da bismo to učinili, koristit ćemo rješenje (ili algoritam), što je slično (ali ne potpuno isto) na uobičajenoj odjeljenju kolone.

Za početak, zapišite zadatak sa korijenom u istom obliku kao i pri razdvajanju stupca. Pretpostavimo da želimo pronaći kvadratni korijen broja 645, što definitivno nije kompletan kvadrat. Prvo pišemo uobičajeni kvadratni simbol, a zatim ćemo napisati broj. Dalje, izvlačimo liniju iznad broja, tako da se ispostavi u malom "kutiji", kao i prilikom dijeljenja stupca. Nakon toga, imat ćemo korijen s dugim repom i više od 6,45 ispod njega.
Iznad korijena napisat ćemo brojeve, pa budite sigurni da ćete tamo ostaviti.

Slika pod nazivom Soling Tračni korijenski problemi Korak 8

2. Grouper brojevi na parovima. Da biste započeli rješavanje zadatka, potrebno je grupirati broj broja ispod para parova, počevši od točke u decimalnom dijelu. Ako želite, možete napraviti male marke (poput bodova, kosine, zarezima itd.) Između parova, tako da se ne bi zbunili.

U našem primjeru moramo podijeliti broj 6,45 u parove kako slijedi: 6-, 45-00. Imajte na umu da je "preostala" cifra prisutna s lijeve strane - ovo je normalno.

Slika pod nazivom Soling Tračni korijenski problemi Korak 9

3. Pronađite najveći broj čiji je kvadrat manji ili jednak prvoj "grupi". Počnite od prvog dana ili para s lijeve strane. Odaberite najveći broj čiji je kvadrat manji ili jednak preostalom "grupi". Na primjer, ako je grupa bila jednaka 37, odabrali biste broj 6, jer 6 = 36 < 37> 37. Zapišite ovaj broj iznad prve grupe. To će biti prva cifra vašeg odgovora.

U našem primjeru, prva grupa od 6-, 45-00 bit će broj 6. Najveći broj koji će na trgu biti manji ili jednak 6 je 2 = 4. Napišite broj 2 preko broja 6, koji je pod korijenom.

Slika pod nazivom Soling Square Trg Boot Problemi korak 10

4. Dvostruki samo pisani brojevi, a zatim ga spustite ispod korijena i odvojite. Uzmite prvu znamenku svog odgovora (broj koji ste upravo pronašli) i udvostručite ga. Zapišite rezultat prema svojoj prvoj grupi i odvojite da pronađete razliku. Spustite sljedeći par brojeva pored odgovora. Konačno, pišite na lijevu posljednju cifru udvostručujući prvu cifru vašeg odgovora i ostanite u blizini.

U našem primjeru započet ćemo s udvostručenim podacima 2, što je prva cifra našeg odgovora. 2 × 2 = 4. Zatim uzimamo 4 od 6 (naša prva "grupa"), primim 2. Zatim izostavljamo sljedeću grupu (45) da biste dobili 245. I na kraju, s lijeve strane ćemo ponovo napisati još 4, odlazeći na kraju mali prostor, poput ovog: 4_

Slika pod nazivom Soling Tračni korijenski problemi Korak 11

pet. Ispunite jaz. Tada morate dodati cifru u desni dio snimljenog broja koji je ostavljen. Odaberite cifru, krećući se svojim novim brojem, dobili biste najvažniji rezultat, ali koji bi bio manje ili jednak "izostavljenom" broju ". Na primjer, ako je vaš "spušten" broj 1700, a vaš broj s lijeve strane je 40_, potrebno je napisati cifru na cifru 4, kao 404 × 4 = 1616 < 1700>

U našem primjeru moramo pronaći broj i napisati je u praznini 4_ × _, što će odgovoriti što je više moguće, ali još uvijek manji ili jednak 245. U našem slučaju ovo je lik od 5. 45 × 5 = 225, dok 46 × 6 = 276

Slika pod nazivom Soling Tračni korijenski problemi Korak 12

6. Nastavite koristiti "prazne" brojeve da biste pronašli odgovor. Nastavite rješavati ovu modificiranu podjelu po stupcu dok ne počnete primati nule pri odvratim "spušteni" broj ili dok ne dobijete željeni nivo tačnosti odgovora. Kada završite, brojevi koje ste koristili za popunjavanje praznina u svakom koraku (plus prvi broj) bit će broj vašeg odgovora.

Nastavljajući naš primjer, odlazimo 225 od 245 da biste dobili 20. Zatim ćemo sniziti sljedeći par brojeva, 00 da biste dobili 2000. Udvostručuje broj iznad korijena. Dobijamo 25 × 2 = 50. Rješavanje primjera sa razmacima, 50_ × _ = /< 2>

Slika pod nazivom Soling kvadratni korijenski problemi Korak 13

7. Pomaknite tačku decimalnog frakcije naprijed iz početnog broja "Podijelite". Da biste dovršili svoj odgovor, morate staviti decimalnu tačku na pravom mjestu. Srećom, učinite ga prilično lako. Sve što trebate učiniti je poravnati u odnosu na točku izvornog broja. Na primjer, ako će broj 49,8 biti pod korijenom, trebat ćete staviti tačku između dvije znamenke preko devet i osam.

U našem primjeru, ispod radikala postoji niz 6,45, tako da jednostavno premještamo poen i stavljamo između brojeva 2 i 5 u našem odgovoru, primili odgovor jednaku 2,539.

Dio 3 od 3:

Brzo izračun nepotpunih kvadrata

jedan. Pronađite nepotpune kvadrate izračunavanjem njih. Kad se sjećate punih kvadrata, potraga za korijenom nepotpunih kvadrata bit će mnogo lakša. Budući da već znate desetak punih trgova, bilo koji broj koji spada u područje između ova dva kompletna kvadrata, može se naći, sve umanjiti približni izračun između tih vrijednosti. Započnite s pretragom dva puna kvadrata, između kojih je vaš broj. Zatim odredite koji iz ovih brojeva vaš je broj bliži.

Na primjer, pretpostavimo da bismo trebali pronaći kvadratni korijen broja 40. Pošto smo se setili punih kvadrata, možemo reći da je broj 40 između 6 i 7, brojevi 36 i 49. Od 40 više od 6, njegov korijen bit će veći od 6, a jer je manji od 7, njegov korijen također će biti manji od 7. 40 je malo bliže 36 nego za 49, tako da će odgovor vjerovatno biti malo bliži 6. U sljedećih nekoliko koraka smo Suzim naš odgovor.

Slika pod nazivom Soling Tračni korijenski problemi Korak 15

2. Izračunajte kvadratni korijen do prvog znaka nakon decimalne tačke. Nakon što odaberete dva puna kvadrata, između kojih se vaš broj nalazi, sve se svodi na vaš izračun dok ne dobijete željeni odgovor. Što više izračunate, točnije će biti vaš odgovor. Započnite s činjenicom koja odabere gdje staviti tačku decimalnog frakcije u svoj odgovor. Ne bi trebalo biti siguran da bude istinito, ali uštedjet ćete vrijeme ako koristite logiku i stavite poantu što bliže tačnom odgovoru.

U našem primjeru, razumna procjena kvadratnog korijena broja 40 može biti 6,4, na osnovu gore navedenih informacija, znamo da je odgovor bliži 6 od 7.

Slika pod nazivom Soling Trak Kvadratni problemi korijena Korak 16

3. Pomnožite približni broj sebe. Sljedeće što morate učiniti je podići približni broj na kvadratu. Najvjerovatnije vam nema sreće i nećete dobiti originalni broj. Biće bilo malo veliko, ili malo manje. Ako je vaš rezultat prevelik, pokušajte ponovo, ali s nešto manjim približnim brojem (i naprotiv, ako je rezultat prenizak).

Pomnožite sami 6,4, a dobit ćete 6,4 × 6,4 = 40,96, što je malo više za originalni broj.

Budući da se naš odgovor pokazao više, moramo pomnožiti broj jedan desetin manji za približno i dobiti sljedeće: 6,3 × 6,3 = 39,69. To je malo manje za originalni broj. To znači da je kvadratni korijen 40 između 6,3 i 6,4. I opet 39,69 bliže 40 nego 40,96, znamo da će kvadratni korijen biti bliži 6,3 u odnosu na 6,4.

Slika pod nazivom Soling kvadratni korijenski problemi Korak 17

4. Nastavite izračun. U ovoj fazi, ako ste zadovoljni svojim odgovorom, možete jednostavno pohađati prvu pogodak približnu vrijednost. Međutim, ako želite dobiti tačniji odgovor, sve što trebate učiniti je odabrati približnu vrijednost s dva znaka decimalnog frakcije koja postavlja ovu približnu vrijednost između prve dvije brojeve. Nastavljajući ovo brojanje, za vaš odgovor možete dobiti tri, četiri i više zareza. Sve zavisi od toga koliko želite ići.

U našem primjeru, izboramo 6.33 kao približnu vrijednost sa dvije decimalne ploče. Pomnožite 6.33 da biste dobili 6,33 × 6,33 = 40,0689. Budući da je malo više od našeg broja, mi ćemo uzeti broj manji, na primjer, 6.32. 6,32 × 6,32 = 39.9424. Ovaj je odgovor nešto manji od našeg broja, pa znamo da je tačan kvadratni korijen između 6,32 i 6,33. Ako bismo željeli nastaviti, nastavit ćemo koristiti isti pristup da bismo dobili odgovor koji bi postao tačniji i tačniji.

Savjeti

Da biste brzo pronašli rješenja, koristite kalkulator. Većina modernih kalkulatora može odmah pronaći kvadratni korijen broja. Sve što trebate učiniti je unijeti svoj broj, a zatim kliknite na gumb sa korijenskim znakom. Na primjer, kako biste pronašli korijen 841, morat ćete pritisnuti 8, 4, 1 i (√). Kao rezultat toga, dobit ćete odgovor 39.