Kako pojednostaviti vođeni izraz

Anferni izraz je algebarski izraz koji je pod znakom korijena (kvadratni, kubični ili viši red). Ponekad vrijednosti različitih izraza mogu biti iste, na primjer, 1 / (√2 - 1) = √2 + 1. Pojednostavljenje ekspresije za hranjenje dizajnirano je tako da ga donese u neki kanonski oblik snimanja.Ako su dva izraza zabilježena u kanoničkom obliku i dalje različite, njihove vrijednosti nisu jednake. U matematici se vjeruje da kanonski oblik evidentiranja hranjenja izraza (kao i izraza s korijenima) u skladu sa sljedećim pravilima:

Ako je moguće, riješite se frakcije ispod korijenskog znaka
Riješite se izražavanja frakcijskim pokazateljem
Ako je moguće, riješite se korijena u nazivniku
Riješite se korijenskog roojskog rada
Pod znakom korijena, morate ostaviti samo one članove iz kojih se cijeli broj ne može izvući

Ova se pravila mogu primijeniti na izvršenje testnih zadataka. Na primjer, ako se odlučite za zadatak, ali rezultat ne odgovara nijednom od navedenim odgovorima, zapišite rezultat u kanoničnom obliku. Imajte na umu da su odgovori na testne zadatke date u kanoničkom obliku, tako da ako napišete rezultat u istom obrascu možete lako odrediti tačan odgovor. Ako je zadatak potreban za "pojednostaviti odgovor" ili "pojednostaviti izraze hranjenja", potrebno je snimiti rezultat u kanoničkom obliku. Štaviše, kanonski obrazac pojednostavljuje rješenje jednadžbi, iako s nekim jednadžbama lakše se nositi ako neko vrijeme zaboravite na kanonski oblik snimanja.

Korake

jedan. Ako je potrebno, sjetite se pravila za obavljanje poslova s korijenima i stepeni (Zapamtite: Vođeni izraz je izraz sa frakcijskim pokazateljem stepena), jer će takva pravila biti potrebna u budućnosti. Štaviše, sjetite se pravila za žalbu i pojednostavite polinomi i Racionalni izrazi.

Metoda 1 od 6:

Riješite se punih kvadrata i punih kockica

jedan. Pojednostavite ekspresiju hranjenja koji je cijeli kvadrat. Kompletni kvadrat je broj koji je kvadrat nekog cijelog broja, na primjer, 81 je kompletan kvadrat, jer 9 ^ 2 = 9 x 9 = 81. Da biste pojednostavili ekspresiju za hranjenje, koji je kompletan kvadrat, samo se riješite korijenskog znaka i zapišite cijeli broj (kada će trg biti na kvadratu).

Na primjer, 121 je kompletan kvadrat, jer 11 x 11 = 121. Dakle, √121 = 11 (to jest, riješimo se korijenskog znaka i napišimo cijeli broj).
Da biste olakšali proračune, zapamtite sljedeće pune kvadrata: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144.

2. Pojednostavite kondicionirani izraz pun kocke. Kompletna kocka je broj koji je kocka nekog cijelog cijelog, na primjer, 27 je kompletna kocka, jer 3 ^ 3 = 3 x 3 x 3 = 27. Da biste pojednostavili ekspresiju hranjenja koji je kompletna kocka, samo se riješite korijenskog znaka i zapišite cijeli broj (kada će kocka biti u kocki).

Na primjer, 343 je kompletna kocka, jer 7 x 7 x 7 = 343. Dakle, kubični korijen od 343 je 7.

Metoda 2 od 6:

Riješiti se izražavanja s frakcijskim pokazateljem

Pretvoriti izraz frakcijskim indikatorom u vođenom izrazu. Ili, ako je potrebno, pretvorite kondicionirani izraz u izraz s frakcijskim indikatorom, ali nikad ne miješajte takve izraze u jednoj jednačini, na primjer, kako slijedi: √5 + 5 ^ (3/2). Pretpostavimo da ste odlučili da radite sa korijenskim korijenom od n koji označavamo kao √n, a kubni korijen n kao kocke.

jedan. Pronađite izraz s frakcijskim pokazateljem i pretvorite ga u vođeni izraz: x ^ (a / b) = B-T. Diplomirani korijen iz x ^ a.

Ako je stupanj korijena frakcija, riješite se i toga. Na primjer, korijen 2 / 3. stepena od 4 = (√4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8.

2. Pretvorite izraz negativnim indikatorom na odgovarajući frakcijski izraz: x ^ (- y) = 1 / x ^.

To se odnosi samo na stalne, racionalne pokazatelje. Kada termin sadrži varijablu, na primjer, 2 ^ x, ne dirajte je, čak i ako je varijabla "X" frakcionalna ili negativna.

Davati takvim članovima i pojednostavite sve racionalne izraze.

Metoda 3 od 6:

Riješiti se frakcija pod znakom korijena

Prema kanoničnom obliku snimanja, korijen frakcije mora biti zastupljen kao podjela korijena iz cijelih brojeva.

jedan. Pogledajte momka izraz. Ako je to frakcija, idite na sljedeći korak.

2. Zamijenite korijen dijela frakcije omjerom dva korijena prema sljedećem identitetu: √ (a / b) = √a / √b.

Ne koristite ovaj identitet ako je denominator negativan ili uključuje varijabla koja može biti negativna. U ovom slučaju prvo pojednostavite frakciju.

3. Pojednostavite pune kvadrate (ako ih ima). Na primjer, √ (5/4) = √5 / √4 = (√5) / 2.

4. Obavljaju druge pojednostavljenja, poput, Pojednostavite kompozitne frakcije, Dovesti takve članove i tako dalje.

Metoda 4 od 6:

Riješivanje operacije množenja usjeva

jedan. Ako je jednadžba prisutna u radu umnožavanja korijenskog zračenja, Kombinirajte dva odvojiva izraza pod jednim korijenskim znakom Prema identitetu: √a * √b = √ (ab). Na primjer, √2 * √6 = √12.

Ovaj identitet vrijedi samo kada su izređeni izrazi nisu negativni. Na primjer, √ (-1) * √ (-1) ≠ √ (1) - Ovdje je izraz s lijeve strane -1 (ili nije definiran ako ne znate raditi sa složenim brojevima) i izraz Pravo je +1, odnosno identitet nije izvršen. Ako "A" i / ili "B" ima negativnu vrijednost, koristite zamišljenu jedinicu koja je naznačena kao i: √ (-5) = i * √5. Ako se stanje ciljanog izražavanja ne zna iz uvjeta problema (to jest može biti pozitivno ili negativno), ne diraj takav izraz. Ili koristite općenitiji identitet: √a * √b = √ (SGN (A)) * √ (SGN (B)) * √ (| AB |), koji se izvodi za sve važeće brojeve "A" i "B" , ali u pravilu nije potrebno komplicirati rješenje problema zbog uvođenja komadno stalne funkcije (SGN).
Ovaj identitet je primjenjiv samo kada korijeni imaju isti stepen. Da biste pomnožili korijene različitim stupnjevima, prvo ih morate pretvoriti u korijenje u istom stepenu. Na primjer, √5 * CUBE√7. Privremeno pretvorio izraze hranjenja u izrazima sa frakcijskim pokazateljima: √5 * Cube√7 = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6) = (125 * 49) ^ (1/6) = 6125 ^ (1/6). To jest, pokazalo je korijen od 6. stepena od 6125.

Metoda 5 od 6:

Oslobodite se množitelja koji su puni kvadrati

jedan

Deklarirati PocOd broj. Poljoprivrednici su neki brojevi prilikom množenja koji se dobija početni broj. Na primjer, 5 i 4 su dva množitelja brojeva 20. Ako se cijeli broj ne može ukloniti iz prošlog broja, širiti takav broj za moguće množitelje i pronađite cijeli kvadrat među njima.

Na primjer, zapišite sve množitelje broja 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 je multiplikator 45 (9 x 5 = 45) i puni kvadrat (9 = 3 ^ 2).

2. Uzmite multiplikator za korijenski znak, koji je cijeli kvadrat. 9 je puni kvadrat, jer 3 x 3 = 9. Oslobodite se 9 ispod znaka korijena i napišite 3 prije znaka korijena - ispod znaka korijena ostat će 5. Ako napravite broj 3 ispod korijenskog znaka, on će se pomnožiti sama i broj 5, odnosno 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Tako je 3√ 5 pojednostavljeni oblik snimanja √45.

√45 = √ (9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

3. Pronađite cijeli kvadrat u samostojećem izrazu s varijablom. Zapamtite: √ (A ^ 2) = | A |. Takav izraz može se pojednostaviti u "A", ali samo ako varijabla poduzima pozitivne vrijednosti. √ (A ^ 3) može se razgraditi na √a * √ (A ^ 2), jer prilikom množenja iste varijable, njihovi su pokazatelji sklopljeni (A * A ^ 2 = A ^ 3).

Dakle, u izrazu A ^ 3, puni kvadrat je ^ 2.

4. Uzmite varijablu za korijenski znak, koji je cijeli kvadrat. Oslobodite se ^ 2 ispod korijenskog znaka i zapišite "a" prije znaka korijena. Dakle, √ (a ^ 3) = a√a.

pet. Dajte takvim članovima i pojednostaviti bilo kakve racionalne izraze.

Metoda 6 od 6:

Reljef iz korijena u nazivniku (racionalizacija nazivnika)

jedan. Prema kanonijskom obliku denominator, Ako je moguće, samo cijeli brojevi trebaju uključivati (ili polinom u slučaju promjenjive prisutnosti).

Ako je naziv nemoćan pod korijenskim znakom, na primjer, [brojčanik] / √5, pomnožite brojčanik i nazivnik u ovaj korijen: ([Brojčanik] * √5) / (√5 * √5) = ([Broj) * √5) / pet.

U slučaju kubičkog korijena ili korijen već veći stupanj pomnožite brojevnice i nazivnik u korijen sa ugrađenim izrazom u odgovarajuću diplomu za racionaliziranje nazivnika. Ako, na primjer, u nazivniku nalazi se kocke√5, pomnožite brojčanik i nazivnik za Cube√ (5 ^ 2).

Ako je denominator izraz u obliku zbroja ili razlike u kvadratnim korijenima, poput √2 + √6, pomnožite brojčanik i imena za konjugiran izraz, odnosno izraz sa suprotnim znakom između članova. Na primjer: [Brojčanik] / (√2 + √6) = ([Brojčanik] * (√2 - √6)) / ((√2 + √6) * (√2 - √6)). Zatim, koristeći formulu kvadratne razlike ((A + B) = A ^ 2 - B ^ 2) Racionalizirajte nazivnik: (√2 + √6) (√2 - √6) = (√) 2) ^ 2 - (√6) ^ 2 = 2 - 6 = -4.

Formula kvadratnih razlika može se primijeniti i na izraz obrasca 5 + √3, jer je bilo koji cijeli broj četvrtasti korijen od drugog cijelog broja. Na primjer: 1 / (5 + √3) = (5 - √3) / ((5 + √3) (5 - √3)) = (5 - √3) / (5 ^ 2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3) / (25 - 3) = (5 - √3) / 22

Ova metoda se može primijeniti na zbroj kvadratnih korijena, poput √5 - √6 + √7. Ako je grupiranje ovog izraza u obliku (√5 - √6) + √7 i pomnožite ga (√5 - √6) - √7, ne riješite se korijena i ostvarite izraz Upišite A + B * √30, gdje "A i" B "- otkopčani bez korijena. Tada se rezultirajući izraz može pomnožiti sa konjugatom: (A + B * √30) (A - B * √30) da biste se riješili korijena. To je, ako možete koristiti konjugirani izraz jednom da biste se riješili određenog broja korijena, tada se mogu koristiti što više mogu se riješiti svih korijena.

Ova metoda se primjenjuje i na korijene viših stupnjeva, na primjer, izraz "korijen četvrtog stepena od 3 plus korijen 7. stepena od 9". U tom slučaju množite bradavica i nazivnik na izraz, konjugirani izraz u nazivniku. Ali ovdje će se konjugirani izraz biti malo drugačiji u odnosu na gore opisane gore opisane. O ovom slučaju se može čitati u udžbenicima na algebri.

2. Pojednostavite brojeve nakon što se riješite korijena u nazivniku. U brojevniku se nalazi proizvod originalnog izražavanja i konjugiranog izražavanja. Otvorite zagrade, premještanje odgovarajućih članova. Donesite takve članove i, ako možete, pojednostaviti rezultirajuće izraz.

3. Ako je denominator negativni cijeli broj, pomnožite brojčanik i imenovač na -1 da biste pretvorili ovaj broj na pozitivno.

Savjeti

Na Internetu postoje resursi koji automatski pojednostavljuju izraze za hranjenje. Samo morate unijeti svoj izraz za hranjenje i pritisnite Enter da biste prikazali pojednostavljeni izraz.
Na neke jednostavne zadatke, opisane metode se ne mogu primijeniti. U slučaju nekih složenih zadataka, ove metode se moraju primjenjivati više puta. Korak po korak pojednostavite primljene izraze, a zatim provjerite da li je završni odgovor u kanoničkom obliku, čiji su kriteriji navedeni na samom početku ovog članka. Ako je odgovor predstavljen u kanonskom obliku, zadatak se rješava - u suprotnom, iskoristite opisane metode.
U pravilu se kanonski oblik evidentiranja odnosi na složene brojeve (i = √ (-1)). Čak i ako je složen broj napisan u obliku I, a ne korijen, bolje je riješiti se ja u nazivnika.
Neke od metoda opisanih ovdje podrazumijevaju rad sa kvadratnim korijenima. Opći principi su isti za kubične korijene ili korijene viših stupnjeva, ali su prilično teško primijeniti neke metode (posebno metodu racionalizacije nazivnika). Štaviše, pitajte učitelja o tačnom zapisu korijena (Cube√4 ili Cube√ (2 ^ 2)).
U nekim odjeljcima ovog članka, koncept "kanonskog oblika" ne koristi se baš pravilno - u stvari moramo razgovarati o "standardnom obliku". Razlika se nalazi u činjenici da kanonski oblik zahtijeva zabilježiti ili 1 + √2, ili √2 + 1- standardni oblik podrazumijeva da su oba izraza (1 + √2 i √2 +1) nesumnjivo jednako jednako, čak i ako su zabilježeni u Različiti putevi. Ovdje, pod "nesumnjivo" aritmetičkim (dodatnim komutativnim), a ne algebarska svojstva (√2 negativni je korijen x ^ 2-2).
Ako su se metode opisane nejasno ili suprotstavljaju jedni drugima, obavljaju dosljedne i nedvosmislene matematičke radnje i napišu odgovor kao što je učitelj potreban ili kao prihvaćen u udžbeniku.