Kako riješiti polinomi

U matematici, polinom (ili polinom) je iznos ili razlika sa jednim krevetima. Planirano uključuje varijable i konstantnu, na primjer, jednostruko je 4, -10x i 3x. Polinom se sastoji od bilo kakvog konačnog broja jednokrilnog, koji ne sadrže negativne pokazatelje stepena (x), varijabli u nazivniku (1 / x) i varijable ispod kvadratnog korijenskog znaka. Da biste rešili polinom, morate saznati u kojim vrijednostima x polinom je nula.

Korake

Metoda 1 od 5:

Snimite polinom

jedan. Organizirajte članove polinoma u silaznom redoslijedu indikatora stupnja. Prepišite ovaj polinom tako da je član sa najvišim stopom stepena prvo, a član sa najmanje pokazatelja - zadnji. Na primjer, polinom -1 + 3x - X prepisuje se ovo: -x + 3x- 1.

Imajte na umu da će negativan član uvijek biti negativan, čak i ako je napišete prvom članu. Pogledajte prethodni primjer --x -X je bio negativan (jer je odbijen), pa je ostao negativan kada ste ga snimili sa prvim članom.

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 2

2. Pojednostavite polinom. Ponekad svaki član polinoma sadrži multiplikator, koji se mogu doći zagrade i tako pojednostaviti polinom. Na primjer, u 2x + 4x - 12 polinom, svaki član je podijeljen u 2, odnosno 2 mogu se izvaditi iz nosača: 2 * (x + 2x - 6), dok vrijednost originalnog polinoma neće promijeniti. Zapamtite da je ova metoda primjenjiva samo kada svaki član ima opći multiplikator.

Da biste provjerili proračune, pomnožite svaki član na 2. Početni polinom moraju se dobiti: 2x + 4x - 12 = (2 * x) + (2 * 2x) - (2 * 6)

Ova metoda je primjenjiva na varijable, na primjer: 3x * (x + 3) = 3x + 9x.

Uvijek uzimajte najveći multiplikator za nosače. U 10x + 20x polinoma za zagrade moguće je ne samo 2, već i 10x.

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 3

3. Utvrdite da li je moguće riješiti polinom. Zapamtite da polinom uključuje bilo koji konačan broj jednokrilnog, koji ne sadrže negativne stupnjeve (x) negativne indikatore, varijable u nazivniku (1 / x) i varijable pod kvadratnim korijenskim znakom. Ako barem jedan od ovih uvjeta nije zadovoljan, ova jednadžba se rješava metodama koje se ne razmatraju u ovom članku.

Imajte na umu da polinomi ukazuju na stepen od kojih je 4 (x) i veći, vrlo je teško odlučiti, ali za to možete koristiti grafički kalkulator.

Ako pojednostavite polinom u silaznom redoslijedu pokazatelja, bit će snimljen u standardnom obliku.

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 4

4. Sjetite se glavnih matematičkih uvjeti. Prilično je teško riješiti polinoma, ako ne znate terminologiju. Sjetite se sljedećih pojmova:

Zakazano (ili samo član) je matematički izraz koji uključuje stalnu, varijabilnu ili stalnu i varijabilnu i varijabilnu. Na primjer, 5, x, 3t, 15y.

Polinom (ili polinovski) - ovo je iznos ili razlika sa jednim krevetima.

Činjenica je broj koji, prilikom množenja, daje treći broj na drugi broj. Na primjer, multiplikatori 10 su brojevi 2, 5, 1, 10, jer će svaki od ovih brojeva umnožiti drugi broj, dat će 10. Multipleje mogu biti varijable, na primjer, množitelji od 10x su 2, 5, 1, 10 i x.

Stupanj je najveća stopa stupnja varijable koja je uključena u polinom. Na primjer, polinom x + 3x + 55 je polinom petog stepena.

Tri ustajala je polinom koji se sastoji od tri homolara, na primjer, 2x + x + 12.

Dva (ili binom) je polinom koji se sastoji od dvije homorale, na primjer, x + 9. Imajte na umu da se neki polinomi mogu razgraditi na multiplikatoru dva i više boun.

Metoda 2 od 5:

Dekompozicija tri dionika

jedan. Riješite polinom koji se daje u obliku tri. Ovaj članak govori samo tri metra (pokazatelj njihove diplome ne prelazi 2, na primjer, X, 3x i tako dalje), jer su takva tri faze najčešće i lako ih riješiti. Tri moraju raspadati na radu dva benoma prvog stepena. Razmotrite primjer: X + 9x - 20.

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 6

2. Sjetite se da se glumi mogu razgraditi na multiplikatoru u dva benoma. Za rješavanje tri odluke, potrebno je pojednostaviti, a za to razgraditi trostruko da radi dva benoma, čiji pokazatelj ne prelazi 1 (na primjer, x, 5x i tako dalje). Sjećate se redoslijeda množenja dvaju jarke: prvih članova, prvi i drugi članovi, drugi i prvi članovi, drugi članovi. Na primjer, pomicanje uvijenog (x + 3) i (x + 2):

(x + 3) (x + 2)

Prvi članovi. Prvi članovi su x.

x * x = X

Prvi i drugi članovi. Prvi član je x, a drugi 2.

x * 2 = 2x

Drugi i prvi članovi. Drugi izraz je 3, a prvi x.

3 * x = 3x

Drugi članovi. Drugi članovi su 3 i 2.

3 * 2 = 6

Preklopite rezultate da biste dobili polinom: X + 3x + 2x + 6.

Preklopite (ili odbiti) slične članove za pojednostavljenje polinoma (slični članovi su članovi koji sadrže varijablu s istim indikatorom stepena): x + 5x + 6

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 7

3. Raširite tri uloga. Većina tri uloga može se razgraditi na dva faktora, od kojih je svaki od dva stepena uvijena. Ova metoda uključuje uzorak i metodu pogreške. Obratite pažnju na sljedeće:

Prvi rok od tri-mele (x) rezultat je umnožavanja prvih članova svake dvije.

Drugi član tri deklarirana (x) je zbroj rezultata množenja prvog i drugog i drugog i prvog člana svake dvije.

Treći član trojice proglašene (6) rezultat je množenja drugog člana svake dvije.

Ako je treća olovka negativna, tada će drugi član jednog od vrbača biti negativan.

Zapišite razgradnju trokapa na komadu twistera u obliku x + x - 6 = (__ +/- __) (__ + /--__), odnosno morate pronaći glatku i zamijeniti ih umjesto razmaka.

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 8

4. Pronađite prve trese (za svaki par nosača). Razmotrite primjer: X + X - 20. Da biste pronašli prve, pogledajte prvi član tri, a stavite ga na parove najjednostavnijih multiplikatora. U našem primjeru takvi su faktori X i X, jer je x * x = x.

Pronađeno glatko za zamjenu umjesto prvih razmaka unutar svakog para nosača: (x + / -__) (x +/- __)

Zapamtite da je kvadrat bilo koja varijabla ili stalna, pomnožena sama po sebi.

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 9

pet. Pronađite dva broja čiji je rad treći član tri. Da biste to učinili, pogledajte treći član troslojnih cipela i proširite ga na svim mogućim multiplikatorskim parovima. U našem primjeru (treći mandat je broj -20) Takvi parovi multiplikatora su sljedeći brojevi:

-10 * 2 = 20

10 * -2 = -20

-4 * 5 = -20

4 * -5 = -20

Rješavanje složenih polinomija, možete koristiti decimalne frakcije (-3 * 6.6666), ali takvi su polinomi vrlo teško odlučiti, jer je gotovo nemoguće primijeniti metodu uzoraka i grešaka. U takvim slučajevima uživajte u grafičkom kalkulatoru.

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 10

6. Među onima koji su pronađeni (na prethodnom koraku), parovi multiplikatora odabire takav par brojeva, kada se priprema drugi član, drugi član je tri. Stalna (konstanta) je uvijek ispred varijable. U našem primjeru drugi član tri snimka je x. Budući da konstantar nije naveden, jednak je 1, jer je x * 1 = x. Dakle, morate odabrati tako nekoliko brojeva, kada je dodatak dobiven 1. U našem primjeru takav par su brojevi -4 i 5: -4 + 5 = 1. Dakle, rad odskoka izgledat će ovako: (x - 4) (x + 5).

Pozitivni brojevi identificirani su sa dodatkom, a negativno - sa oduzimanjem.

Bilješka: Uzmite u obzir stalnu od prvih člana tri. Na primjer, ako će u našem primjeru biti prvi mandat od tri decleta 3x, tada se takva trojku ne postavlja na množitelje (3x - 4) (X + 5) (X + 5), jer u ovom slučaju iznos rezultata Radovi prvih i drugih članova i drugi i prvi članovi nisu jednaki 1: 15 + (-4) = 11. Ovdje morate odabrati drugi par brojeva -20 faktora.

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 11

7. Pomnožite pripadnike odskoka da biste provjerili rezultat. U našem primjeru:

(x - 4) (x + 5)

Prvi članovi. x * x = x

Prvi i drugi članovi. x * 5 = 5x

Drugi i prvi članovi. -4 * x = -4x

Drugi članovi. -4 * 5 = -20

Preklopite rezultate da biste dobili polinom: x + 5x - 4x - 20

Preklopite ili oduzmite slične članove: x + x - 20

Budući da rezultirajuća šipka podudara s izvorom, rješenje je tačno.

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 12

osam. Praksa u raspadaju tri udjela na multiplikatoru. Nekih tri puta teže odlagati od drugih. Pokušajte razgraditi sljedeće kvadrate na faktore i usporediti primljene odgovore sa sljedećim.

Jednostavan zadatak: X + 4x + 3.

Odgovor: (x + 1) (x + 3)

Normalni zadatak: X - 9 + 18.

Odgovor: (x - 3) (x - 6)

Težak zadatak: 4x - 2x -6

Odgovor: (2x - 3) (2x + 2)

Metoda 3 od 5:

Odluka polinoma

jedan. Da biste riješili polinom, morate ga izjednačiti na nulu. Zadaci zahtijevaju "da pronađu vrijednosti varijable u kojoj je polinom 0" ili "pronađite korijenje polinoma" ili jednostavno "riješiti polinom". Prije izjednačavanja polinoma na nulu, koristite savjete postavljene u prvom odjeljku ovog članka. Razmotrite primjer: 3x (2x - 4) (x + 5) = 0.

Korijeni polinoma nalaze se u kojem je nula, odnosno to je tačka (na koordinatnom ravninu) u kojem grafikon polinomina prelazi X osi (horizontalna os).

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 14

2. Izjednačite svaki biccoon (ako ste razgradili polinom za množitelje) na nulu. Budući da se polinom opada na nekoliko faktora, glavni zadatak je podijeljen na nekoliko podnaških sudova. Ako se 0 pomnože sa bilo kojim izrazom ili brojem, tada će se ispasti 0, tako da svaki multipliktor možete razmotriti odvojeno. Dakle, u našem primjeru zadatak je podijeljen u 3 podnačine:

Jednadžba A: 3x = 0

Jednadžba B: 2x - 4 = 0

Jednadžba C: X + 5 = 0

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 15

3. Odlučite sve jednadžbe, odnosno pronađite "x". Svaka odluka bit će korijen originalnog polinoma. Da biste pronašli "X", odvojite ovu varijablu na jednoj strani jednadžbe.

Jednadžba A: Oslobodite se 3 puta do sljedeće divizije: 3x / 3 = 0/3.

x = 0

Jednadžba B: 2x - 4 +4 = 0 + 4

2x / 2 = 4/2

x = 2

Jednadžba C: X + 5 - 5 = 0 - 5

x = -5

Pronašli ste korijene polinoma.

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 16

4. Da biste provjerili odgovor, zamijenite vrijednosti pronađene u originalnom polinomnom. Ovo je brz i pouzdan način provjere bilo kakve odluke. Umjesto "X" zamjena pronađenih vrijednosti - ako je rješenje tačno, polinom će biti jednak 0.

x = 0: (3 * 0) (2 * 0 - 4) (0 - 5) = 0

(0) (- 4) (- 5) = 0

0 = 0

Odgovor je u pravu. Provjerite preostale vrijednosti "x".

Metoda 4 od 5:

Rješenje složenih polinoma

jedan. Pojednostavite polinom. Da biste to učinili, stavite ga na rad iskrivljenih i tri. Na primjer, proizvod (X-5) (X + X - 20) može se podijeliti u dvije jednadžbe i riješiti ih zasebno.

Ako je vrlo dati visok stupanj, na primjer, x, tada se može napisati na sljedeći način: (x), što će značajno pojednostaviti svoju odluku.

Na primjer, x + 2x + 4 = (x + 2) (x + 2)

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 18

2. Riješite polinom koji se daje u obliku razlike dvije kocke. Ako se broj ili promjenjiva kocka oduzima iz kocke drugog broja ili promjenjive, na primjer, X - 8, tada se takva razlika može razgraditi na proizvodu uvijenog i tri proglašene formulom skraćenim množenjem: (A - b) (A + AB + B) = A - B

U našem primjeru a = x, b = 2 (od 2 = 8). Stoga X - 8 = (x - 2) (x + 2x + 8).

Da biste shvatili kako se prikazuje ova formula, otvorena Ova stranica (na engleskom).

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 19

3. Naučite da riješite kvadratnu jednadžbu. Kvadratna jednadžba je drugi stepen polinomski ekvivalent nuli. Kvadratna jednadžba može se koristiti za rješavanje složenih polinoma bez grafičkog kalkulatora. Uz pomoć formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi možete brzo pronaći korijenje polinoma.

Metoda 5 od 5:

Korištenje grafičkog kalkulatora

jedan. Da biste rešili složeni polinom, koristite grafički kalkulator. Komplicirani polinomi su polinomi sa velikim brojem članova, neparnih pokazatelja stepena ili skrivenih multiplikatora. Grafički kalkulator pronalazi korijene u automatskom režimu. Najlakši način za korištenje funkcije nule (nuros).

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 21

2. Unesite polinom u grafičkom kalkulatoru. U pravilu se to radi na ekranu y = _____ ili f (x) _____ (unose se polinom) umjesto razmaka).

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 22

3. Pogledajte raspored. Na ekranu kalkulatora pojavit će se uneseni polinomski graf.

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 23

4. Kliknite "nuros" (nuros). U najpopularnijim grafičkim kalkulatorima proizvedenim od strane Texas instrumenta, kliknite na "2nd" - "Calc" - "nuros". Na ostalim grafičkim kalkulatorima, odgovarajuća funkcija može se nazvati "korijenima" (korijeni), "izračunati korijenje" (izračunati korijenje), "izračunati nule" (izračunati nuros "(izračunati nule).

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 24

pet. Odaberite Točke koje leže lijevo i desno iz željenog korijena. Trepereće točka će se pojaviti na grafikonu. Upotreba tipki sa strelicama postavite treperu ulijevo mjesto za raskrižju grafikona pomoću osi apsissa. Označite odabranu točku. Ponovite ovaj postupak da označite tačku desno od željenog korijena.

Kalkulator će ponuditi da pronađe ove bodove.

Ne birajte cijeli raspored - povećajte ga i odaberite Points lijevo i desno iz navodnog korijena (to jest mesta raskrižja grafikona sa osi x).

Slika pod nazivom Rešavanje polinoma Korak 25

6. Obavezno označite bodove u kojima se graf jednostavno zabrinjava (ali ne prelazi) x osi x. Takve tačke su takođe korijenske jednadžbe.

Ako ste ručno pronašli korijenje polinoma, provjerite ih grafičkim kalkulatorom. Da biste to učinili, u kalkulatoru, pronađite koordinate točke raskrižje grafikona sa osi x.

Savjeti

Ne brinite ako polinom uključuje druge varijable, na primjer, t, ili ako je jednak f (x), a ne 0. Ako trebate pronaći korijene, nule ili multiplikatore, riješite tako polinom kao i bilo koji drugi (odnosno opisan u ovom članku).
Sjetite se postupka za obavljanje matematičkih operacija. Prvo, riješite izraz u zagradama, pomnožite ili podijelite, a zatim preklopite ili odbiti.