Kako indiferencirati implicitna funkcija: 7 koraka

Kada vam bude jasna funkcija, u kojoj se ovisna varijabla izolira na jednoj strani znaka ravnopravnosti (na primjer, y = x -3x), tada možete lako direktno ravnodužiti (to je da pronađete njegov izvedenik). Ali implicitne funkcije (na primjer, x + y - 5x + 8y + 2xy = 19), u kojem nije tako jednostavno razdvajati različito odvojiti ovisnu varijablu različito drugačije.

Korake

Metoda 1 od 2:

Pronalaženje derivata jednostavne funkcije

jedan. S obje strane funkcije pronađite (na standardni način) derivate članova koji sadrže neovisnu varijablu "X" i derivat besplatne članove. U ovoj fazi članovi koji sadrže ovisnu varijablu "y" dok ne dodirnete. Na primjer, funkcija X + Y je data - 5x + 8y + 2xy = 19.

U našem primjeru x + y - 5x + 8y + 2xy = 19 Postoje dva člana iz varijable "x": x i -5x. Pronađite njihove derivate:
X + y - 5x + 8y + 2xy = 19
(Stupanj 2 u X napravi multiplikator, u -5x se riješi "X", a izvedenih 19 je 0)
2x + Y - 5 + 8Y + 2xY = 0

Slika pod nazivom Da li implicitna diferencijacija korak 2

2. Sada izvedite derivate od člana iz "Y" varijable i nametite im (DY / DX). Na primjer, prilikom pronalaska derivata člana, napišite ga kako slijedi: 2y (DY / DX). U ovoj fazi članovi koji sadrže obje varijable ("x" i "y") dok ne dodirnete.

U našem primjeru 2x + y - 5 + 8Y + 2xy = 0 Raspored članova y i 8y:

2x + Y - 5 + 8Y + 2xY = 0

(Pokazatelj stepena 2 V M za snimanje multiplikatora, a u 8. reši se "y" - zatim nametanjem za primljeno DX / DY izvedeno)

2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2xY = 0

Slika pod nazivom Da li implicitna diferencijacija Korak 3

3. Da biste pronašli derivaciju člana koji sadrži proizvod dvije varijable ("X" i "Y"), koristite funkciju diferencijacije funkcije funkcija: (F × G) `= F` × G + G × F `, gdje umjesto f supstrat "x", i umjesto g - "y". S druge strane, pronaći derivat člana koji sadrži privatne dvije varijable ("X" i "Y"), koristite pravilo diferencijacije privatnih funkcija: (F / g) `= (g × f` - g `× f) / g, gdje umjesto f supstrat "x", te umjesto g - "y" (ili obrnuto, ovisno o funkcijama koje su vam).

U našem primjeru 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2H = 0 Postoji jedan član sa obje varijable: 2xy. Budući da se varijable pomnožene, koristite funkciju diferencijacije funkcija:

2xy = (2x) (Y) - Neka 2x = F i y = g u (F × G) `= F` × G + G × F `

(F × G) `= (2x)` × (y) + (2x) × (y) `

(F × G) `= (2) × (Y) + (2x) × (2y (DY / DX))

(F × G) `= 2y + 4xy (DY / DX)

Dodajte ove članove u glavnu funkciju i dobiti: 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4xY (DY / DX) = 0

Slika pod nazivom Da li implicitna diferencijacija korak 4

4. Je (DY / DX). Imajte na umu da se bilo koja dva člana "A" i "B", koja se množi (DY / DX), mogu se napisati u obliku (A + B) (DY / DX). Za odvajanje (DY / DX) prenesite sve članove bez (DY / DX) na jednu stranu znaka ravnopravnosti, a zatim ih podijelite na članove koji stoje u zagradama na (DY / DX).

U našem primjeru 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4xY (DY / DX) = 0:

2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4xY (DY / DX) = 0

(2y + 8 + 4xy) (DY / DX) + 2x - 5 + 2Y = 0

(2y + 8 + 4xy) (DY / DX) = -2Y - 2x + 5

(DY / DX) = (-2Y - 2x + 5) / (2Y + 8 + 4xY)

(DY / DX) = (-2Y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Metoda 2 od 2:

Napredne metode

jedan. Za detaljne vrijednosti (X, Y) za pronalaženje (DY / DX) za bilo koje točke. Obavezno (DY / DX), pronašli ste derivat implicitne funkcije. Pomoću ovog derivata možete pronaći kutni koeficijent tangencijalne tangencijalne (X, Y), jednostavno zamjenjujući u pronađenom derivatu koordinata "X" i "Y".

Na primjer, potrebno je pronaći kutni koeficijent tangencije u točki A (3, -4). Da biste to učinili, na derivatu umjesto "X" zamjene 3, a umjesto "y" zamjene -4:
(DY / DX) = (-2Y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
(DY / DX) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)
(DY / DX) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
(DY / DX) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
(DY / DX) = (-33) / (2 (2 (-12))
(DY / DX) = (-33) / (- 48) = 3/48 = 0,6875.

Slika pod nazivom Da li implicitna diferencijacija Korak 6

2. Iskoristite detalje lanca različitih složenih funkcija: Ako funkcija f (x) može biti napisana u obliku (f O g) (x), derivat F (x) je jednak F `(g (x)) g` (x). To znači da se derivat sastava dvije ili više funkcija može izračunati na osnovu pojedinih derivata.

Primjer: Pronađite izredu grijeha (3x + x). U ovom slučaju označavaju grijeh (3x + x) kao "F (x)" i 3x + x poput "G (x)".

F `(g (x)) g` (x)

(grijeh (3x + x)) `× (3x + x)`

Cos (3x + x) × (6x + 1)

(6x + 1) cos (3x + x)

Slika pod nazivom Implicitna diferencijacija Korak 7

3. Ako funkcija sadrži varijable "X", "Y", "Z", pronađite (DZ / DX) i (DZ / DY). Odnosno ako funkcija sadrži više od dvije varijable, za svaku dodatnu varijablu potrebno je pronaći dodatni izvedenik "X". Na primjer, ako funkcija sadrži varijable "X", "Y", "Z", morate pronaći (DZ / DX) i (DZ / DY). To možete učiniti režijom funkcije dvaput "X" - prvi put ćete dodati (DZ / DX) za svaki član nezasvojenog sa "Z", a drugi put ću dodati (DZ / DY) prilikom razlikovanja "Z". Nakon toga, jednostavno odvojite (DZ / DX) i (DZ / DY).

Na primjer, pronađite XZ derivat - 5xyz = x + y.

Prvo, indiferentneate by "x" i dodajte (DZ / DX). Ne zaboravite da primijenite pravilo pronalaženja derivata funkcije funkcija.

XZ - 5xyz = x + y

3xz + 2xz (DZ / DX) - 5yz - 5xy (DZ / DX) = 2x

3xz + (2xz - 5xy) (DZ / DX) - 5YZ = 2x

(2xz - 5xy) (DZ / DX) = 2x - 3xz + 5YZ

(DZ / DX) = (2x - 3xz + 5YZ) / (2xz - 5xy)

Sada učinite isto za (DZ / DY):

XZ - 5xyz = x + y

2xz (DZ / DY) - 25xyz - 5xy (DZ / DY) = 3Y

(2xz - 5xy) (DZ / DY) = 3Y + 25XYZ

(DZ / DY) = (3y + 25xyz) / (2xz - 5xy)