Kako riješiti ponavljajuću jednadžbu

Prije pronalaska formule neke matematičke sekvence, potrebno je pronaći člana ovog niza, izraženog kroz prethodni član sekvence (a ne kao funkciju od N). Na primjer, bilo bi lijepo znati funkciju za N-ti člana Fibonaccijeve sekvence, ali često imate samo ponavljajuću jednadžbu koja svakog člana Fibonaccijeve redoslijeda povezuje s dva prethodna člana. Ovaj članak će vam reći kako riješiti ponavljajuću jednadžbu.

Korake

Metoda 1 od 5:
Aritmetički napredak
  1. Slika pod nazivom Rešavanje recidiva relesa 1. korak 1
jedan. Razmotrite redoslijed 5, 8, 11, 14, 17, 20, ....
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa koraka 2
    2. Svaki član ovog slijeda veći je od prethodnog člana 3, tako da se može izraziti rekurentnom jednadžbom prikazanom na slici.
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa koraka 3
    3. Ponavljajuće jednadžba tipa aN = AN-1 + D je aritmetički napredak.
  • Slika pod nazivom Resulrent Relass Korak 4
    4. Zabilježite formulu za izračunavanje N-ti člana aritmetičkog napredovanja, kao što je prikazano na slici.
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa koraka 5
    pet. Pozorite vrednost u formuli ovog sekvence. U našem primjeru 5 - ovo je 0. član sekvence. Tada formula ima izgled aN = 5 + 3N. Ako je 5 prvi član sekvence, onda formula ima oblik aN = 2 + 3N.
  • Metoda 2 od 5:
    Geometrijsko napredovanje
    1. Slika pod nazivom Resulrent Relass Korak 6
    jedan. Razmotrite redoslijed 3, 6, 12, 24, 48, ....
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa koraka 7
    2. Svaki član ovog slijeda veći je od prethodnog člana 2 puta, tako da se može izraziti rekurentnom jednadžbom prikazanom na slici.
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa Korak 8
    3. Ponavljajuće jednadžba tipa aN = R * aN-1 je geometrijsko napredovanje.
  • Slika pod nazivom Resulrent Relass Korak 4
    4. Zabilježite formulu za izračunavanje N-člana geometrijskog napretka, kao što je prikazano na slici.
  • Slika pod nazivom Riješite reless korak 10
    pet. Pozorite vrednost u formuli ovog sekvence. U našem primjeru 3 - ovo je 0 članica sekvence. Tada formula ima izgled aN = 3 * 2. Ako je 3 prvi član sekvence, onda formula ima izgled aN = 3 * 2.
  • Metoda 3 od 5:
    Polinom
    1. Slika pod nazivom Rešavanje relesa Korak 11
    jedan. Razmotrite redoslijed 5, 0, -8, -17, -25, -30, ..., Dao je po tekućoj jednadžbi prikazanoj na slici.
  • Slika pod nazivom Resulrent Relass Korak 12
    2. Sva nekakva rekurentna jednadžba vrsta prikazanih na slici (gdje je p (n) polipuna iz n), ima polinom, čiji je pokazatelj 1 veći od indikatora.
  • Slika pod nazivom Resulrent Relass Korak 13
    3. Napišite polinom odgovarajućeg reda. U našem primjeru, P ima drugi poredak, pa je potrebno napisati kubni polinom da predstavi niz aN.
  • Slika pod nazivom Resulrent Relass korak 14
    4. Od četiri nepoznata koeficijenta u kubnom polinom, napišite sistem četiri jednadžbe. Bilo koja četiri su pogodna, pa razmislite o 0 oh, 1., 2., 3. članovi. Ako želite, uzmite u obzir -1-koji član ponavljajuće jednadžbe za pojednostavljenje procesa odluke (ali nije potrebno).
  • Slika pod nazivom REVASS RERASS KORAK 15
    pet. Odlučite nastavni sistem stupnjeva (P) +2 jednadžbe za stepen (P) = 2 nepoznanice kao što je prikazano na slici.
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa Korak 16
    6. Ako A - Ovo je jedan od članova koji ste koristili za izračunavanje koeficijenata, tada ćete brzo pronaći stalnog člana polinoma i možete pojednostaviti sustav u stupnju (P) +1 jednadžbe za stepen (P) +1 nepoznate kao prikazano na slici.
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa koraka 17
    7. Odlučite sistem linearnih jednadžbi i dobiti c3 = 1/3, c2 = -5/2, cjedan = -17/6, c = 5. Zapišite formulu za aN u obliku polinoma sa poznatim koeficijentima.
  • Metoda 4 od 5:
    Linearne rekurentne jednadžbe
    1. Slika pod nazivom Rešavanje odnosa o ponavljanju Korak 18
    jedan. Ovo je jedna od metoda za rješavanje Fibonaccije. Međutim, ova metoda se može koristiti za rješavanje bilo kakvih ponavljajućih jednadžbi u kojima je N-B linearna kombinacija prethodnih K članova. Razmotrite slijed 1, 4, 13, 46, 157, ....
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa po korak 19
    2. Napišite karakterističan polinom ponavljajuće jednadžbe. Da biste to učinili, zamijeniteNna x i podijelite ATX-u - dobivate polinomsku diplomu k i stalnog člana osim nule.
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa koraka 20
    3. Odlučite karakterističan polinom. U našem primjeru, drži diplomu 2, pa koristite formulu za pronalazak korijena kvadratne jednadžbe.
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa koraka 21
    4. Svaki izraz pojavljivanja prikazanog na slici zadovoljava ponavljajuću jednadžbu. CI- Ovo su konstantni, a temelji stupnja su korijeni karakterističnog polinoma (rešetka iznad).
  • Ako karakterističan polinom ima nekoliko korijena, onda morate učiniti sljedeće. Ako je r korijen multiplikacije m, umjestojedanR) koristiti (cjedanR + C2NR + C3Br + ... + CMNr). Na primjer, razmotrite slijed 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240, ..., Zadovoljavajući ponavljajuće jednadžbe aN = 6aN-1 - 12aN-2 + 8aN-3. Karakteristični polinom ima tri korijena, a formula je napisana kao: aN = 5 * 2 - 7 * n * 2 + 2 * n * 2.
  • Slika pod nazivom Rešavanje Resurent Reless Korak 22
    pet. Pronađite stalni CI, zadovoljavajući početne uslove. Za ovaj rekordni sistem jednadžbi s početnim uvjetima. Otkad u našem primjeru nepoznatog zapišite sistem dvije jednadžbe. Bilo koja dva su pogodna, pa razmislite o 0. i 1. članovima da izbjegnu izgradnju iracionalnog broja u većoj mjeri.
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa koraka 23
    6. Riješiti rezultirajuće sustav jednadžbi.
  • Slika pod nazivom Resulrent Relass Korak 24
    7. Pronašli stalne podmetanje u formuli.
  • Metoda 5 od 5:
    Izvođenje funkcija
    1. Slika pod nazivom Resulrent Relass Korak 25
    jedan. Razmotrite redoslijed 2, 5, 14, 41, 122 ..., Dao je po tekućoj jednadžbi prikazanoj na slici. Ne može se riješiti pomoću bilo koje gore opisane metode, ali formula je kroz proizvodnju funkcija.
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa koraka 26
    2. Napišite funkciju za proizvodnju sekvence. Funkcija proizvodne funkcije je formalni red energije, gdje je koeficijent x N-ti član sekvence.
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa koraka 27
    3. Pretvorite produktivnu funkciju kao što je prikazano na slici. Svrha ovog koraka je pronaći jednadžbu koja će vam omogućiti da riješite funkciju proizvodnje A (x). Uklonite početni član. Primijenite ponavljajuću jednadžbu za preostale članove. Podijeliti iznos. Uklonite stalne članove. Koristite definiciju A (x). Koristite formulu za izračunavanje količine geometrijskog napredovanja.
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa koraka 28
    4. Pronađite proizvod A (X).
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa Korak 29
    pet. Pronađite koeficijent na X u A (X). Metode pronalaženja koeficijenta ovise o vrsti funkcije A (x), ali lik prikazuje metodu elementarnih frakcija u kombinaciji sa gemetnim napredovanjem gemetre.
  • Slika pod nazivom Rešavanje relesa koraka 30
    6. Zapišite formulu za aN, Da biste pronašli koeficijent na X u A (X).
  • Savjeti

    • Induktivna metoda je takođe vrlo popularna. Često se lako pokazuje (koristeći induktivnu metodu) da neka formula zadovoljava neku ponavljajuću jednadžbu, ali problem je što je potrebno da se formula ne zahtijeva unaprijed.
    • Neke od opisanih metoda zahtijevaju veliku količinu računanja, što može podrazumijevati greške. Stoga provjerite formulu za nekoliko poznatih uvjeta.
    Slične publikacije