Kako riješiti ponavljajuću jednadžbu
Prije pronalaska formule neke matematičke sekvence, potrebno je pronaći člana ovog niza, izraženog kroz prethodni član sekvence (a ne kao funkciju od N). Na primjer, bilo bi lijepo znati funkciju za N-ti člana Fibonaccijeve sekvence, ali često imate samo ponavljajuću jednadžbu koja svakog člana Fibonaccijeve redoslijeda povezuje s dva prethodna člana. Ovaj članak će vam reći kako riješiti ponavljajuću jednadžbu.
Korake
Metoda 1 od 5:
Aritmetički napredakjedan. Razmotrite redoslijed 5, 8, 11, 14, 17, 20, ....
2. Svaki član ovog slijeda veći je od prethodnog člana 3, tako da se može izraziti rekurentnom jednadžbom prikazanom na slici.
3. Ponavljajuće jednadžba tipa aN = AN-1 + D je aritmetički napredak.
4. Zabilježite formulu za izračunavanje N-ti člana aritmetičkog napredovanja, kao što je prikazano na slici.
pet. Pozorite vrednost u formuli ovog sekvence. U našem primjeru 5 - ovo je 0. član sekvence. Tada formula ima izgled aN = 5 + 3N. Ako je 5 prvi član sekvence, onda formula ima oblik aN = 2 + 3N.
Metoda 2 od 5:
Geometrijsko napredovanjejedan. Razmotrite redoslijed 3, 6, 12, 24, 48, ....
2. Svaki član ovog slijeda veći je od prethodnog člana 2 puta, tako da se može izraziti rekurentnom jednadžbom prikazanom na slici.
3. Ponavljajuće jednadžba tipa aN = R * aN-1 je geometrijsko napredovanje.
4. Zabilježite formulu za izračunavanje N-člana geometrijskog napretka, kao što je prikazano na slici.
pet. Pozorite vrednost u formuli ovog sekvence. U našem primjeru 3 - ovo je 0 članica sekvence. Tada formula ima izgled aN = 3 * 2. Ako je 3 prvi član sekvence, onda formula ima izgled aN = 3 * 2.
Metoda 3 od 5:
Polinomjedan. Razmotrite redoslijed 5, 0, -8, -17, -25, -30, ..., Dao je po tekućoj jednadžbi prikazanoj na slici.
2. Sva nekakva rekurentna jednadžba vrsta prikazanih na slici (gdje je p (n) polipuna iz n), ima polinom, čiji je pokazatelj 1 veći od indikatora.
3. Napišite polinom odgovarajućeg reda. U našem primjeru, P ima drugi poredak, pa je potrebno napisati kubni polinom da predstavi niz aN.
4. Od četiri nepoznata koeficijenta u kubnom polinom, napišite sistem četiri jednadžbe. Bilo koja četiri su pogodna, pa razmislite o 0 oh, 1., 2., 3. članovi. Ako želite, uzmite u obzir -1-koji član ponavljajuće jednadžbe za pojednostavljenje procesa odluke (ali nije potrebno).
pet. Odlučite nastavni sistem stupnjeva (P) +2 jednadžbe za stepen (P) = 2 nepoznanice kao što je prikazano na slici.
6. Ako A - Ovo je jedan od članova koji ste koristili za izračunavanje koeficijenata, tada ćete brzo pronaći stalnog člana polinoma i možete pojednostaviti sustav u stupnju (P) +1 jednadžbe za stepen (P) +1 nepoznate kao prikazano na slici.
7. Odlučite sistem linearnih jednadžbi i dobiti c3 = 1/3, c2 = -5/2, cjedan = -17/6, c = 5. Zapišite formulu za aN u obliku polinoma sa poznatim koeficijentima.
Metoda 4 od 5:
Linearne rekurentne jednadžbejedan. Ovo je jedna od metoda za rješavanje Fibonaccije. Međutim, ova metoda se može koristiti za rješavanje bilo kakvih ponavljajućih jednadžbi u kojima je N-B linearna kombinacija prethodnih K članova. Razmotrite slijed 1, 4, 13, 46, 157, ....
2. Napišite karakterističan polinom ponavljajuće jednadžbe. Da biste to učinili, zamijeniteNna x i podijelite ATX-u - dobivate polinomsku diplomu k i stalnog člana osim nule.
3. Odlučite karakterističan polinom. U našem primjeru, drži diplomu 2, pa koristite formulu za pronalazak korijena kvadratne jednadžbe.
4. Svaki izraz pojavljivanja prikazanog na slici zadovoljava ponavljajuću jednadžbu. CI- Ovo su konstantni, a temelji stupnja su korijeni karakterističnog polinoma (rešetka iznad).
pet. Pronađite stalni CI, zadovoljavajući početne uslove. Za ovaj rekordni sistem jednadžbi s početnim uvjetima. Otkad u našem primjeru nepoznatog zapišite sistem dvije jednadžbe. Bilo koja dva su pogodna, pa razmislite o 0. i 1. članovima da izbjegnu izgradnju iracionalnog broja u većoj mjeri.
6. Riješiti rezultirajuće sustav jednadžbi.
7. Pronašli stalne podmetanje u formuli.
Metoda 5 od 5:
Izvođenje funkcijajedan. Razmotrite redoslijed 2, 5, 14, 41, 122 ..., Dao je po tekućoj jednadžbi prikazanoj na slici. Ne može se riješiti pomoću bilo koje gore opisane metode, ali formula je kroz proizvodnju funkcija.
2. Napišite funkciju za proizvodnju sekvence. Funkcija proizvodne funkcije je formalni red energije, gdje je koeficijent x N-ti član sekvence.
3. Pretvorite produktivnu funkciju kao što je prikazano na slici. Svrha ovog koraka je pronaći jednadžbu koja će vam omogućiti da riješite funkciju proizvodnje A (x). Uklonite početni član. Primijenite ponavljajuću jednadžbu za preostale članove. Podijeliti iznos. Uklonite stalne članove. Koristite definiciju A (x). Koristite formulu za izračunavanje količine geometrijskog napredovanja.
4. Pronađite proizvod A (X).
pet. Pronađite koeficijent na X u A (X). Metode pronalaženja koeficijenta ovise o vrsti funkcije A (x), ali lik prikazuje metodu elementarnih frakcija u kombinaciji sa gemetnim napredovanjem gemetre.
6. Zapišite formulu za aN, Da biste pronašli koeficijent na X u A (X).
Savjeti
- Induktivna metoda je takođe vrlo popularna. Često se lako pokazuje (koristeći induktivnu metodu) da neka formula zadovoljava neku ponavljajuću jednadžbu, ali problem je što je potrebno da se formula ne zahtijeva unaprijed.
- Neke od opisanih metoda zahtijevaju veliku količinu računanja, što može podrazumijevati greške. Stoga provjerite formulu za nekoliko poznatih uvjeta.