Kako izgraditi raspored racionalne funkcije: 8 koraka

Racionalna funkcija ima oblik y = n (x) / d (x), gdje su n i d polinomi. Da biste izgradili precizan grafikon takve funkcije, trebat će vam dobro poznavanje algebre, uključujući diferencijalne proračune. Razmotrite sljedeći primjer: y = (2X - 6X + 5) / (4X + 2).

Korake

jedan. Pronađite tačku raskrižja grafikona sa osi y osi y. Da biste to učinili, supstrat x = 0 i dobijte y = 5/2. Dakle, tačka raskrižja grafikona sa osi y ima koordinate (0, 5/2). Postavite ovu točku na koordinatni avion.

Slika pod nazivom Grafikon Racionalna funkcija korak 2

2. Pronađite horizontalne asimptote. Podijelite brojevnicu na nazivnik (u stupcu) kako biste utvrdili ponašanje "y" s vrijednostima "X" koji traže u beskonačnosti. U našem primjeru rezultat će se podjele biti y = (1/2)X - (7/4) + 17 / (8X + 4). Sa velikim pozitivnim ili negativnim vrijednostima "X" 17 / (8X + 4) ima tendenciju za nulu, a grafikon se približava direktnoj određenoj funkciji y = (1/2)X - (7/4). Upotreba isprekidane linije izgradite grafikon ove funkcije.

Ako je stupanj brojača manji od stupnja nazivnika, a broj neće moći podijeliti na nazivnik i asimptota opisuje funkciju W = 0.

Ako je stupanj brojača jednak stupnju nazivnika, asimptota je vodoravni direktan, jednak omjer koeficijenata na najvišim "X".

Ako je stupanj brojača 1 više od stupnja nazivnika, asimptota je nagnuta izravna, čiji je kutni koeficijent jednak omjeru koeficijenata u "X" na najvišem.

Ako je stepen brojača veći od stupnja nazivnika u 2, 3 i t.D., Tada na velikim vrijednostima |NS| Vrijednosti W teže beskonačnosti (pozitivnim ili negativnim) u obliku kvadrata, kubičnog ili drugog stepena polinoma. U ovom slučaju, najvjerovatnije, nije potrebno izgraditi tačan grafikon funkcije dobivenog pri razdvajanju brojača na nazivnik.

Slika pod nazivom Grafikon Racionalna funkcija Korak 3

3. Pronađite nuros funkcije. Racionalna funkcija ima nule kada je njegov broj nula, to je, n (NS) = 0. U našem primjeru 2X - 6X + 5 = 0. Diskriminator ove kvadratne jednadžbe:B - 4Ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Budući da je diskriminator negativan, a zatim n (NS), a samim tim i f (NS) nema valjane korijene. Grafikon racionalne funkcije ne prelazi osovinu x. Ako funkcija ima nule (korijenje), a zatim ih postavite na koordinatni avion.

Slika pod nazivom Grafikon Racionalna funkcija Korak 4

4. Pronađite vertikalne asimptote. Da biste to učinili, izjednačite na denominator na nulu. U našem primjeru 4X + 2 = 0 i NS = -1/2. Izgradite grafikon vertikalnih asimptota pomoću isprekidane linije. Ako sa nekim značenjem NS N (NS) = 0 i d (NS) = 0, zatim vertikalna asimptota ili postoji, ili ne postoji (ovo je rijedak slučaj, ali bolje ga je pamtiti).

Slika pod nazivom Grafikon Racionalna funkcija Korak 5

pet. Pogledajte ostatak da podijelite broj na nazivnik. Pozitivan je, negativan ili jednak nuli? U našem primjeru ostatak je 17, odnosno je pozitivan. OPASNOST 4X + 2 pozitivno na pravo vertikalnih asimptota i negativnih na lijevo od toga. To znači da grafikon racionalne funkcije na velikim pozitivnim vrijednostima NS Pristupi asimptoting odozgo, i sa velikim negativnim vrijednostima NS - dno. Od 17 / (8X + 4) Nikada jednak nuli, tada raspored ove funkcije nikada neće preći direktno određenu funkcijuW = (1/2)NS - (7/4).

Slika pod nazivom Grafikon Racionalna funkcija Korak 6

6. Pronađite lokalne ekstremi. Lokalni ekstrem postoji kod n `(X) D (X) - n (X) D `(X) = 0. U našem primjeru n `(X) = 4X - 6 i d `(X) = 4. N `(X) D (X) - n (X) D `(X) = (4X - 6) (4X + 2) - (2X - 6X + 5) * 4 = X + X - 4 = 0. Odlučite ovu jednadžbu, pronaći ćete to X = 3/2 I X = -5/2. (To nisu baš tačno značenje, ali oni su pogodni za naš slučaj, kada hitno ne treba.)

Slika pod nazivom Grafikon Racionalna funkcija korak 7

7. Pronađite vrijednost W Za svaki lokalni ekstrem. Da biste to učinili, zamjenske vrijednosti NS U originalnoj racionalnoj funkciji. U našem primjeru f (3/2) = 1/16 i f (-5/2) = -65/16. Odgodite točke (3/2, 1/16) i (-5/2, -65/16) na koordinatnom ravninu. Budući da se izračuni temelje na približnim vrijednostima (iz prethodnog koraka), minimalni pronađeni i maksimum također nisu u potpunosti precizni (ali vjerovatno vrlo blizu tačnih vrijednosti). (Tačka (3/2, 1/16) je vrlo blizu lokalnog minimuma. Počevši od koraka 3, to znamo W Uvek pozitivan kao NS> -1/2, a pronašli smo malu vrijednost (1/16) - na taj način, vrijednost pogreške je izuzetno mala.)

Slika pod nazivom Grafikon Racionalna funkcija korak 8

osam. Spojite na čekanju i glatko proširite raspored asimptotamima (ne zaboravite na pravi smjer približavanja rasporeda na asimptotam). Ne zaboravite da raspored ne bi trebao preći x osi X (vidi. Korak 3). Grafikon se takođe ne presijeca sa vodoravnim i vertikalnim asimptotima (vidi. Korak 5). Ne mijenjajte smjer rasporeda osim na točkama krajnosti koje se nalaze u prethodnom koraku.

Savjeti

Ako ste završili gore opisane radnje strogo u redu, tada nema potrebe za izračunavanjem drugog derivata (ili sličnih složenih količina) za provjeru vaše odluke.
Ako ne trebate izračunati vrijednosti vrijednosti, možete zamijeniti pronalaženje lokalnih ekstremira za izračunavanje nekih dodatnih koordinatnih parova (NS, W) između svakog para asimptota. Štoviše, ako vas nije briga kako opisana metoda funkcionira, nemojte se iznenaditi zašto ne možete pronaći derivat i riješiti jednadžbu n `(X) D (X) - n (X) D `(X) = 0.
U nekim slučajevima ćete morati raditi sa polinomima sa visokim redoslijedom. Ako ne možete pronaći tačno rješenje uz pomoć raspadanja multiplikatora, formula itd.NS., Zatim procijenite moguća rješenja pomoću numeričkih metoda, kao što su Newton metoda.
U rijetkim slučajevima broj i nazivnik imaju zajednički varijabilni multiplikator. Prema opisanim koracima, to će dovesti do nule i vertikalnih asimptota na istom mjestu. Međutim, to nije moguće, a objašnjenje služi jednu od sljedećih opcija:

Nula u n (NS) ima veću mnoštvo od nule u d (NS). Grafikon f (NS) u ovom trenutku ima tendenciju, ali nije definiran u njemu. Navedite ga crtanjem kruga oko točke.
Nula u n (NS) i nula u d (NS) imaju isti višestruko. Raspored približava se nekoj neravnomjernom trenutku u tom smislu NS, ali nije definirano u njemu. Navedite ga crtanjem kruga oko točke.
Nula u n (NS) ima nižu mnoštvo od nule u d (NS). Ovdje postoji vertikalna asimptota.