Kako riješiti zadatke sa stupnjevima -

Stupanj se koristi za pojednostavljenje snimanja množenja broja sebe. Na primjer, umjesto da snimimo $4 * 4 * 4 * 4 * 4$ može se napisati $4 pet$ $4 ^ {5}$ (Objašnjenje ove tranzicije dato je u prvom odjeljku ovog članka). Stupnjeva omogućava pojednostavljenje dugih ili složenih izraza ili jednadžbi također se lako saviju i oduzme, što dovodi do pojednostavljenja izražavanja ili jednadžbi (na primjer, $42 * 4^{3} = 4^{pet}$ $4 ^ {2} * 4 ^ {3} = 4 ^ {5}$ ).

Bilješka: Ako trebate riješiti indikativnu jednadžbu (u ovoj jednadžbi, nepoznato je u pokazatelju u mjeri), čitati Ovaj članak.

Korake

Metoda 1 od 3:

Rješenje najjednostavnijih zadataka sa stupnjevima

jedan. Terminologija. Na primjer, data diploma

23

$2 ^ {3}$ . Ovdje 2 je Diplomiran za osnivanje, i 3 je eksponent. Broj

23

$2 ^ {3}$ Izrazio ovako: dva u trećem stepenu ili dva na Kubi.

Ako je brojka prisutna 2, na primjer, $pet 2$ $5 ^ {2}$ , Tada se takav pokazatelj naziva Trg, To jest, naš primer je izražen ovako: pet u kvadratu.
Ako je brojka prisutna 3, na primjer, $103$ $10 ^ {3}$ , Tada se takav pokazatelj naziva Kuba, To jest, naš primer je izražen ovako: deset na Kubi.
Ako broj nema indikator stepena, to znači da je broj jednaka 1. Na primjer, $4 = 4 jedan$ $4 = 4 ^ {1}$ .
Bilo koji broj (frakcija, izraz) podignut u nultu diplomu, jednak 1, odnosno $40 = jedan$ $4 ^ {0} = 1$ ili $(3 / osam)^{0} = jedan.$ $(3/8) ^ {0} = 1$ Više informacija možete pronaći u odjeljku "Savjeti".

Slika pod nazivom Rešavanje eksponenata Korak 2

2. Pomnožite temelj same stupnja prema broju puta jednakim pokazatelju stepena. Ako trebate ručno riješiti zadatak sa stupnjevima, prepisati stepen u obliku radnog pomnožavanja, gdje se temelj stupnja pomnoži sama po sebi. Na primjer, data diploma

34

$3 ^ {4}$ . U ovom slučaju, baza stepena 3 mora se pomnožiti sa samo 4 puta:

3 * 3 * 3 * 3

. Evo i drugih primjera:

4 pet = 4 * 4 * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

osam 2 = osam * osam

$8 ^ {2} = 8 * 8$

Deset na Kubi

= 10 * 10 * 10

Slika pod nazivom Rešavanje eksponenata Korak 3

3. Za početak pomnožite prve dvije brojeve. Na primjer,

4 pet

$4 ^ {5}$ =

4 * 4 * 4 * 4 * 4

. Ne brinite - proces izračuna nije toliko komplikovan jer se čini na prvi pogled. Prvo pomnožite prva dva četiri, a zatim ih zamijenite rezultatom. Volim ovo:

4 pet = 4 * 4 * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

4 * 4 = šesnaest

$4 pet = šesnaest * 4 * 4 * 4$ $4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

Slika pod nazivom Rešavanje eksponenata Korak 4

4. Pomnožite rezultat (u našem primjeru 16) na sljedeći broj. Svaki naredni rezultat bit će proporcionalno povećan. U našem primjeru, množite od 16 do 4. Volim ovo:

4 pet = šesnaest * 4 * 4 * 4

$4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

šesnaest * 4 = 64

$4 pet = 64 * 4 * 4$ $4 ^ {5} = 64 * 4 * 4$

64 * 4 = 256

$4 pet = 256 * 4$ $4 ^ {5} = 256 * 4$

256 * 4 = 1024

Nastavite višestruko pomnožiti rezultat množite prva dva broja na sljedeći broj dok ne primite konačni odgovor. Da biste to učinili, promijenite prva dva broja, a zatim se rezultat pomnoženi sa sljedećim brojem u nizu. Ova metoda vrijedi za bilo koji mjer. U našem primjeru trebali biste dobiti: $4 pet = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ $4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ .

Slika pod nazivom Rešavanje eksponenata Korak 5

pet. Odlučite sljedeće zadatke. Pregledajte ček sa kalkulatorom.

osam 2

$8 ^ {2}$

34

$3 ^ {4}$

107

$10 ^ {7}$

Slika pod nazivom Rešavanje eksponenata Korak 6

6. Na kalkulatoru pronađite ključ naznačen kao "Exp" ili "XN{ displaystyle x ^ {n}} $x ^ {n}$ "Ili" ^ ". Ovim ključem ćete podići broj u diplomu. Izračunajte u mjeri s velikim indikatorom ručno nemogućim (na primjer, stepen

devet petnaest

$9 ^ {{15}}$ ), ali kalkulator se lako nosi sa ovim zadatkom. U Windows 7 standardni kalkulator može se prebaciti u inženjerski režim - za ovaj klik "View" -> "Inženjering". Da biste se prebacili u normalan režim, kliknite "View" -> "Normal".

Provjerite odgovor koji je primio Google. Iskoristite ključ "^" na tastaturi računara, unesite izraz u pretraživač, koji trenutno prikazuje tačan odgovor (i može ponuditi slične izraze za proučavanje).

Metoda 2 od 3:

Dodavanje, oduzimanje, množenje stepeni

jedan. Da se preklopi i oduzme diplome samo ako imaju iste baze. Ako trebate dodati stupnjeve s istim bazama i pokazateljima, tada možete zamijeniti rad dodavanja radnog pomnožavanja. Na primjer, dat je izraz

4 pet + 4^{pet}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5}$ . Sjetite se tog stepena

4 pet

$4 ^ {5}$ može biti zastupljeno kao

jedan * 4 pet

$1 * 4 ^ {5}$ - tako,

4 pet + 4^{pet} = jedan * 4^{pet} + jedan * 4^{pet} = 2 * 4^{pet}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 1 * 4 ^ {5} + 1 * 4 ^ {5} = 2 * 4 ^ {5}$ (gde 1 +1 = 2). To jest, razmotrite broj sličnih stupnjeva, a zatim pomnožite takav stepen i to je broj. U našem primjeru, razraditi 4 u petoj mjeri, a zatim dobijeni rezultat umnožava 2. Imajte na umu da se operacija dodavanja može zamijeniti operacijom množenja, na primjer,

3 + 3 = 2 * 3

. Evo i drugih primjera:

$32 + 3^{2} = 2 * 3^{2}$ $3 ^ {2} + 3 ^ {2} = 2 * 3 ^ {2}$
$4 pet + 4^{pet} + 4^{pet} = 3 * 4^{pet}$ $4 ^ {5} + 4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 3 * 4 ^ {5}$
$4 pet - 4^{pet} + 2 = 2$ $4 ^ {5} -4 ^ {5} + 2 = 2$
$4 X 2 - 2 X^{2} = 2 X^{2}$ $4x ^ {2} -2x ^ {2} = 2x ^ {2}$

Slika pod nazivom Rešavanje eksponenata Korak 8

2. Prilikom množenja stupnjeva s istom bazom, njihovi su pokazatelji sklopljeni (baza se ne mijenja). Na primjer, dat je izraz

X 2 * X^{pet}

$x ^ {2} * x ^ {5}$ . U ovom slučaju, samo trebate savijati pokazatelje, ostavljajući osnovu nepromijenjena. Tako,

X 2 * X^{pet} = X^{7}

$x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$ . Evo vizuelnog objašnjenja ovog pravila:

X 2 * X^{pet}

$x ^ {2} * x ^ {5}$

X 2 = X * X

$x ^ {2} = x * x$

X pet = X * X * X * X * X

$x ^ {5} = x * x * x * x * x$

X 2 * X^{pet} = (X * X) * (X * X * X * X * X)

$x ^ {2} * x ^ {5} = (x * x) * (x * x * x * x * x)$

Budući da se baza pomnožava sama sama, to možemo podnijeti u sljedećem obrascu:

X 2 * X^{pet} = X * X * X * X * X * X * X

$x ^ {2} * x ^ {5} = x * x * x * x * x * x * x$

$X 2 * X^{pet} = X^{7}$ $x ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$

Slika pod nazivom Rešavanje eksponenata Korak 9

3. Kada se stepen podigne u diplomu, pokazatelji su varijabilni. Na primjer, data diploma

(X 2)^{pet}

$(x ^ {2}) ^ {5}$ . Budući da su pokazatelji diplome varijable, onda

(X 2)^{pet} = X^{2 * pet} = X^{10}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {{2 * 5}} = x ^ {{10}}$ . Značenje ovog pravila je da pomnožite stepen

(X 2)

$(x ^ {2})$ za sebe pet puta. Volim ovo:

(X 2)^{pet}

$(x ^ {2}) ^ {5}$

(X 2)^{pet} = X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2}$

Budući da je baza ista, pokazatelji stupnja jednostavno se sakupljaju: $(X 2)^{pet} = X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} * X^{2} = X^{10}$ $(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ ^ {2} * x ^ {2} = x ^ {{10}}$

Slika pod nazivom Rešavanje eksponenata Korak 10

4. Stupanj s negativnim pokazateljem treba pretvoriti u frakciju (na obrnutu). Ne problemi ako ne znate šta obrnuto. Ako vam je data diploma s negativnim indikatorom, na primjer,

3 - 2

$3 ^ {{- 2}}$ , Zapišite ovaj stupanj na denominatoru pantalona (u brojevniku, mjestu 1) i učinite pokazatelj pozitivnim. U našem primjeru:

\frac{jedan}{3} 2

${ Frac {1} {3 ^ {2}}}$ . Evo i drugih primjera:

pet - 10 = \frac{jedan}{pet} 10

$5 ^ {{- 10}} = { frac {1} {5 ^ {{{{{{10}}}}$

3 X - 4 = \frac{3}{X} 4

$3x ^ {{- 4}} = { frac {3} {X ^ {4}}}$

Slika pod nazivom Rešavanje eksponenata Korak 11

pet. Prilikom podele diploma s istom bazom, njihovi su pokazatelji odbitni (osnova se ne mijenja). Operacija podjela je suprotnost operaciji množenja. Na primjer, dat je izraz

44 4^{2}

${ Frac {4 ^ {2}} {4 ^ {2}}}$ . Uklonite indikator stupnjeva u imena, od indikatora stupnjevanja u brojevniku (ne mijenjajte bazu). Tako,

44 4^{2} = 4^{4 - 2} = 4^{2}

${ Frac {4 ^ {2}} {4 ^ {2}}} = 4 ^ {{4-2}} = 4 ^ {2}$ = šesnaest.

Stepen okrenut nazivaču može se napisati u ovom obliku:

\frac{jedan}{4} 2

${ Frac {1} {4 ^ {2}}}$ =

4 - 2

$4 ^ {{- 2}}$ . Imajte na umu da je frakcija broj (stepen, izraz) s negativnim pokazateljem stepena.

Slika pod nazivom Rešavanje eksponenata Korak 12

6. Ispod su neki izrazi koji će vam pomoći da naučite rješavati zadatke sa stupnjevima. Ovi izrazi pokrivaju materijal koji je utvrđen u ovom odjeljku. Da biste vidjeli odgovor, samo istaknite prazan prostor nakon znaka ravnopravnosti.

pet 3

$5 ^ {3}$ = 125

22 + 2^{2} + 2^{2}

$2 ^ {2} + 2 ^ {2} + 2 ^ {2}$ = 12

X jedan 2 - 2 X^{jedan} 2

$x ^ {1} 2-2x ^ {1} 2$ = -X ^ 12

y 3 * y

$y ^ {3} * y$ =

y 4

$y ^ {4}$ Imajte na umu da je bilo koji broj diplomiran sa pokazateljem 1

(TUŽILAC WHITING - PITANJE: 3)^{pet}

$(Q ^ {3}) ^ {5}$ =

TUŽILAC WHITING - PITANJE: jedan pet

$Q ^ {1} 5$

R pet R^{2}

${ Frac {^ ^ {5}} {r ^ {2}}}$ =

R 3

$R ^ {3}$

Metoda 3 od 3:

Rješavanje zadataka sa frakcijskim pokazateljima

jedan. Stepen sa frakcijskim pokazateljem (na primjer, Xjedan2{ displaystyle x ^ { frac {1} {2}}} $X ^ {{{ frac {1} {2}}}}$ ) se pretvara u ekstrakciju korijena. U našem primjeru:

X \frac{jedan}{2}

$X ^ {{{ frac {1} {2}}}}$ =

\sqrt{X}

. Ovdje nije važno, koji je broj u nazivniku frakcijskog pokazatelja stepena. Na primjer,

X \frac{jedan}{4}

$X ^ {{{ frac {1} {4}}}}$ - Ovo je korijen četvrtog stepena od "X", to jeste

X 4

Rad ekstrakcije korijena vraća se u odnosu na rad vježbanja. Na primjer, ako je korijen $X 4$ Izgradite četvrtu diplomu, a zatim ćete dobiti "x", kao i $šesnaest 4 = 2$ Možete provjeriti kako slijedi: $24 = šesnaest$ $2 ^ {4} = 16$ . Drugi primer: ako $X 4 = 2$ , onda $24 = X$ $2 ^ {4} = x$ - tako, $X = 2$ .

Slika pod nazivom Rešavanje eksponenata Korak 14

2. Ako je indikator nepravilan dio, tada se takav stupanj može razgraditi za dva stupnjeva za pojednostavljenje rješenja problema. U ovome se ništa nije komplicirano - sjetite se samo pravila množenja po stepenima. Na primjer, data diploma

X \frac{pet}{3}

$X ^ {{{ frac {5} {3}}}}$ . Pretvorite takav stepen u korijen, od kojih će stupanj biti jednak nazivnika frakcijskog pokazatelja, a zatim ovaj korijen uzeti u stupnju jednak broju razdjelnika. Da to učinim, zapamti to

\frac{pet}{3}

(\frac{jedan}{3}) * pet

. U našem primjeru:

X \frac{pet}{3}

$X ^ {{{ frac {5} {3}}}}$

X \frac{pet}{3} = X^{pet} * X^{\frac{jedan}{3}}

$x ^ {{{ frac {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{ frac {1} {3}}}}$

X \frac{jedan}{3} = X 3

$x ^ {{{ frac {1} {3}}}} = { sqrt [{3}] {X}}$

X \frac{pet}{3} = X^{pet} * X^{\frac{jedan}{3}}

$x ^ {{{ frac {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{ frac {1} {3}}}}$ = $(X 3)^{pet}$ $({ Sqrt [{3}] {X}}) ^ {5}$

Slika pod nazivom Rešavanje eksponenata Korak 15

3. Preklop, oduzimanje i produženi frakcijski pokazatelji za opšta pravila. Lakše je dodati i odustati od frakcijskih pokazatelja prije nego što pretvorite stupnjeve u korijenima ili u brojevima. Ako se stepeni daju s istim bazama i pokazateljima, oni se razvijaju i odbiju pod općim pravilima. Ako se stepeni daju samo istim bazama, možete ih pomnožiti i podijeliti (samo ako se sjećate Pravila dodavanja i oduzimanja frakcija). Na primjer:

X \frac{pet}{3} + X^{\frac{pet}{3}} = 2 (X^{\frac{pet}{3}})

$X ^ {{{ frac {5} {3}}}} + X ^ {{{{ frac {5} {3}}}} = 2 (x ^ {{{{ frac {5} {3}} }})$

X \frac{pet}{3} * X^{\frac{2}{3}} = X^{\frac{7}{3}}

$X ^ {{{ frac {5} {3}}}} * x ^ {{{{{ frac {2} {3}}}} = x ^ {{{{ frac {7}}}$

Savjeti

Pojednostavljenje izražavanja je dovesti do takvog oblika (korištenjem ispunjavanja matematičkih operacija), što je lakše riješiti.
Na nekim kalkulatorima postoji dugme za izračunavanje stupnjeva (prvo morate unijeti bazu, a zatim pritisnite tipku, a zatim unesite indikator). Označava se kao ^ ili x ^ y.
Zapamtite da bilo koji broj u prvom stepenu jednako prema sebi, na primjer,, $4 jedan = 4.$ $4 ^ {1} = 4$ Štaviše, bilo koji broj pomnoženi ili podijeljen s njim jednak je sebi, na primjer,, $pet * jedan = pet$ i $pet / jedan = pet$ .
Znajte da stepen 0 ne postoji (ovaj stupanj nema rješenje). Kada pokušavate riješiti takav stepen na kalkulatoru ili na računaru dobit ćete grešku. Ali zapamtite da je bilo koji broj u nuli jednak 1, na primjer, $40 = jedan.$ $4 ^ {0} = 1$
U najvišoj matematici koja posluje sa imaginarnim brojevima: $E SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: I X = C O S SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: X + I S I N SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: X$ $E ^ {a} ix = cosax + isinax$ , gde $I = \sqrt{(} - jedan)$ - E - Konstantna, približno jednaka 2,7- i - proizvoljnoj konstantu. Dokaz ove jednakosti može se naći u bilo kojem udžbeniku o višoj matematici.

Upozorenja

Uz povećanje pokazatelja stepena, njegova vrijednost se povećava. Dakle, ako vam se odgovor čini pogrešno, u stvari, on može biti vjeran. Možete to provjeriti izgradnjom rasporeda bilo koje indikativne funkcije, na primjer, 2.