Kako utvrditi da li se beskonačni redak konvergira: 4 koraka

Beskrajni numerički redovi često dovode do zbunjenosti i uplašenih jer su prilično teško zamisliti mentalno. Na prvi pogled teško je reći da se broj preveli ili ne, nekoliko vekova, odgovor na takvo pitanje trebalo bi mnogo sati. Međutim, u naše vrijeme, zahvaljujući naporima mnogih neizmirenih matematičara, imamo skup jednostavnih tehnika, lako dopuštamo da riješimo zadatak. Ove tehnike su namijenjene da dobije odgovor na pitanje, brojne su konvergirane ili ne, a ne da pronađete njegovu sumu. Da biste ih razumjeli, trebali biste posjedovati i osnove računanja.

Korake

jedan. Implementirati preliminarni ček. Postoji jednostavna teorema koja kaže da ako beskonačna zbroj funkcije F konvergira, granica funkcije f je 0. Dakle, ako imamo funkciju X ^ 2, tada nema ograničenja, a njegova se zbraja neće se složiti sa beskonačnošću, s druge strane, granica funkcije 1 / x je 0, tako da se njegov iznos može konvergirati. Ako granica nije jednaka nuli, znamo da se red odstupa. Pažnja: suprotno nije istinito, odnosno činjenica da je granica nula, ne znači da se broj nužno konvergira. U ovom slučaju je potrebna daljnja provjera.

Image naslovljena određuje da li beskonačna serija konvergira korak 2

2. Geometrijski redovi. Za ove redove postoji vrlo jednostavno pravilo, tako da prije svega odredite da li je vaš red geometrijski. Geometrijska serija je niz brojeva, od kojih je svaki član može biti predstavljen kao r ^ k, gdje je k varijabla, a R je broj u rasponu između -1 i 1. Geometrijski redovi se uvijek slažu. Štaviše, lako možete odrediti količinu takvog reda, što je jednako 1 / (1-R).

Slika pod nazivom Napišite božićnu predstavu Korak 4

3. Generalizirani harmonični redovi ili dirichlet. Takav se broj naziva zbroj funkcija obrasca 1 / (x ^ p), gdje je x bilo koji broj. Theorem za ove serije kaže da je ako P veća od jedinice, serija se konvergira, ako je P manja ili jednaka jednom, red se odvaja. To znači da je gore navedena serija 1 / x izdan, jer se može predstavljati kao 1 / (x ^ 1), gdje je p = 1. Ova serija se zove harmoničan. Broj 1 / (X ^ 2) konvergira, kao još 2 1.

4. Ostali redovi. Ako broj ne pripada jednoj od gore navedenih vrsta, primijenite metode dolje do njega u nastavku. Ako jedna metoda nije pomogla, primijenite sljedeće jer nije uvijek jasno koje bi trebalo birati. Iako nema nedvosmislenih pravila, s vremenom se možete bolje kretati u odabiru željene metode.

Metoda poređenja. Pretpostavimo da imate dva reda koji se sastoje od pozitivnih članova, a (n) i b (n). Zatim: 1) ako se beskonačna suma b (n) konvertira, a A (N) je manji od b (n) (za bilo koji dovoljno veliki n), tada je zbroj A (N) također konvergiran, 2) ako je B ( n) Raspored i A (N)> B (N), zatim A (N) takođe se odlično razlikuje. Na primjer, imate seriju 2 / x - možemo ga uporediti sa blizu 1 / x. Budući da već znamo da se serija 1 / x razilazi, a 2 / x> 1 / x, slijedi da se broj 2 / x rasprši. Dakle, ideja metode je utvrditi je li serija konvergirana ili ne, koristeći već poznatu seriju. Image Nadledajte da li beskonačna serija konvertira korak 4bullet1

Image Nadledajte da li beskonačna serija konvertira korak 4bullet1

Način usporedbe granica. Ako su (n) i b (n) redovi pozitivnih brojeva, a ako postoji ograničenje a (n) / b (n), što je veći od 0, tada se oba reda ili konvergiraju ili se dižuju. U ovom se slučaju, serija u studiji također uspoređuje sa poznatom metodom, metoda je odabir poznate serije, čiji maksimalni stupanj odgovara studiranju serije u studiji. Na primjer, ako razmotrite seriju 1 / (x ^ 3 + 2x + 1), ima smisla da ga uporedi sa blizu 1 / (x ^ 3). Image pod nazivom Odredite da li se beskonačna serija konvertira korak 4bullet2

Image pod nazivom Odredite da li se beskonačna serija konvertira korak 4bullet2

Provjerite integralni. Ako je funkcija veća od nule, kontinuirana i smanjuje se na X vrijednostima više od ili jednake 1, a zatim beskonačna serija F (N) konvergira ako postoji određeni integralni od 1 do beskonačnosti iz funkcije f (x) i ima i ima konačno značenje - u suprotnom se red razilazi. Stoga je dovoljno integrirati funkciju i pronaći granicu za x, tražeći beskonačnost: Ako je granica konačna, serija se konvertira, ako je granica jednaka beskonačnoj, retku se odvaja. Image Nadledano određuje da li beskonačna serija konvertira korak 4bullet3

Image Nadledano određuje da li beskonačna serija konvertira korak 4bullet3

Pojavljeni redovi. Ako (k)> A (k + 1)> 0 u dovoljnoj velikom k, i ograničenje A (N) je 0, tada se alternativna serija (-1) ^ n a (n) konvergira. Jednostavno recite, recimo da je vaš red značajan (odnosno njeni članovi su naizmenično pozitivni i negativni) - u ovom slučaju bacite alternativni dio funkcije i pronađite granicu onoga što je granica, ako je granica konačna, Serija se konvertira.

Metoda odnosa. Ako je dat beskonačni serija A (N), pronađite sljedeći član reda A (N + 1). Zatim izračunajte omjer naknadnog člana na prethodni A (N + 1) / A (N), ako je potrebno, uzimajući njenu apsolutnu vrijednost. Pronađite granicu ovog odnosa kada ne postoji u beskonačnost, ako ta granica postoji i konačna, to znači sljedeće: 1) ako je granica manja od jedne, serija se nalazi veća od jedinice, Red je odvojen jedan) ako je granica jednaka jednom, ova metoda nedovoljna (broj se može konvergirati i raširiti).

Ovo su glavne metode za određivanje konvergencije redaka i izuzetno su korisne. Ako nijedan od njih nije pomogao, vjerovatno je da zadatak nema rješenja ili ste negdje pogriješili. Ove metode se mogu koristiti i za ostale retke, poput redova snage, taylor reda i t.D. Posjedovanje ovih metoda teško je precijeniti, jer drugi jednostavni načini utvrđivanja konvergencije broja ne postoji.

Savjeti

Uvijek pronađite ograničenje i provjerite da li se vaša serija ne odnosi na geometrijske ili generalizirane harmonske retke prije upotrebe metode usporedbe. To će vam omogućiti da uštedite puno vremena i truda.

Upozorenja

Ne pokušavajte riješiti bilo koji zadatak uz pomoć kalkulatora.