Kako pronaći obrnutu matricu 3x3 -

U pravilu se obrnute operacije koriste za pojednostavljenje složenih algebričnih izraza. Na primjer, ako je zadatak prisutan u podjeli frakcije, moguće je zamijeniti u radu množenja za obrnuto frakciju, koji je obrnut rad. Štaviše, matrice se ne mogu podijeliti, pa morate pomnožiti po povratnu matricu. Izračunajte matricu, inverzna matrica veličine 3x3, prilično naporna, ali morate to moći ručno raditi. Također obrnuta vrijednost može se pronaći koristeći dobar grafički kalkulator.

Korake

Metoda 1 od 3:

Koristeći priloženu matricu

jedan. Provjerite determinaciju matrice. Prvo izračunati odrednicu matrice. Ako je odrednica 0, tada se reverzna matrica ne može izračunati. Odrednica matrice M označena je kao Det (m).

U slučaju matrice 3x3, prvo morate izračunati odrednicu.
Da biste dobili detaljne informacije, pročitajte članak Kako pronaći odrednicu matrice 3x3.

Slika naslovljena Pronađite inverzno od 3x3 matrice korak 2

2. Transparenpate originalnu matricu. Transpozicija je zamjena redaka na stupcima u odnosu na glavnu dijagonalu matrice, odnosno, potrebno je promijeniti elemente (I, J) i (J, I) mjesta. Istovremeno, elementi glavne dijagonale (započinju u gornjem lijevom uglu i završava u donjem desnom uglu) ne mijenjaju se.

Da biste promenili redove na stupcima, napišite prve redne elemente u prvom stupcu, elemente drugog retka u drugom stupcu i elemente treće linije u trećem stupcu. Postupak promjene položaja elemenata prikazan je na slici na kojem su odgovarajući elementi zaokružuju obojenim krugovima.

Slika naslovljena Pronađite inverzno od 3x3 matrice korak 3

3. Pronađite Definirajte svaku matricu 2x2. Svaki element bilo koje matrice, uključujući prenesene, povezan je s odgovarajućom matricom 2x2. Da biste pronašli 2x2 matricu, što odgovara određenom elementu, prekrižite niz i stupac u kojem se ovaj artikl nalazi, odnosno trebate preći pet elemenata originalne matrice 3x3. Neobrojite četiri elementa koji su elementi odgovarajuće matrice 2x2.

Na primjer, da biste pronašli matricu 2x2 za stavku koja se nalazi na raskrižju drugog retka i prvom stupcu, prekrižite pet elemenata koji su u drugom retku i prvom stupcu. Preostala četiri elementa su elementi odgovarajuće matrice 2x2.

Pronađite odrednicu svake matrice 2x2. Da biste to učinili, proizvod elemenata sekundarne dijagonale odbit će od rada predmeta glavne dijagonale (vidi sliku).

Detaljne informacije o matricama 2x2 koje odgovaraju određenim elementima matrice 3x3 mogu se naći na internetu.

Slika naslovljena Pronađi obrnuto od 3x3 matrice korak 4

4. Napravite matricu kofaktora. Rezultati dobiveni ranije, zapisuju kao novu matricu Cofactor. Za to će identifikator svake matrice 2x2 napisati gdje je bio odgovarajući element matrice 3x3. Na primjer, ako se matrica 2x2 smatra za element (1.1), njegova odrednica se bilježi u položaju (1,1). Zatim promijenite znakove odgovarajućih elemenata prema određenoj shemi koja je prikazana na slici.

Shema promjene znakova: Znak prvog elementa prve linije se ne mijenja - znak drugog elementa prve retka promijeni se u suprotno - znak trećeg elementa prve linije se ne mijenja i tako na liniji. Imajte na umu da znakovi "+" i ";", koji su prikazani na dijagramu (vidi sliku), ne ukazuju na odgovarajući element pozitivan ili negativan. U ovom slučaju "+" znak sugerira da se znak elemenata ne mijenja, a znak ";" označava promjenu znaka elementa.

Detaljne informacije o matricama Cofactor možete pronaći na Internetu.

Tako ćete naći priloženu matricu originalne matrice. Ponekad se naziva kompleks-konjugatna matrica. Takva matrica je naznačena kao adj (m).

Slika naslova pronalaženje inverzije 3x3 matrice korak 5

pet. Podijelite svaki element priložene matrice na determinant. Odrednica M matrice izračunata je u samom početku kako bi se potvrdilo da postoji obrnuta matrica. Sada podijelite svaki element priložene matrice na ovu odrednicu. Rezultat svake operacije odjeljenja zapit će gdje se nalazi odgovarajuća stavka. Dakle, naći ćete matricu, obrnuti izvor.

Odrednica matrice, koja je prikazana na slici, je 1. Dakle, ovdje je priložena matrica obrnuta matrica (jer prilikom dijeljenja bilo kojeg broja na 1 ne mijenja se).

U nekim izvorima operacija podjela zamijenjena je operacijom množenja za 1 / Det (M). U ovom slučaju krajnji rezultat se ne mijenja.

Metoda 2 od 3:

Korištenje elementarnih transformacija

jedan. Jednostruka matrica pišite pored originalne matrice. Snimite početnu matricu M, desno od njega, nacrtajte vertikalnu liniju, a zatim desno od linije zapišite matricu jedinice. Isključuje matricu sa tri reda i šest stupaca (velika matrica).

Podsjetimo da je jedna matrica matrica, gdje su elementi glavne dijagonale jedinice, a ostatak elemenata su nule. Detaljne informacije o pojedinačnim matricama mogu se naći na Internetu.

Image Naslijedilo Pronađi inverzni od 3x3 matrice korak 7

2. Izvršite elementarne transformacije kako biste dobili jednu matricu za dobivanje jedinstvenog. Naš cilj je stvoriti jednu matricu na lijevoj polovini velike matrice. Osnovne transformacije izvedene na lijevoj polovici velike matrice moraju se izvesti i na desnoj polovini (sjećamo se da je desna polovina velike matrice jedna matrica).

Imajte na umu da elementarne transformacije uključuju skalarno pomnožavanje operacije, kao i dodavanje i oduzmu žice za odvajanje određenih elemenata. Detaljne informacije o konverzijama elementarnih matrica mogu se naći na Internetu.

Slika naslovljena Pronađite inverziju 3x3 matrice korak 8

3. Nastavite pretvoriti veliku matricu do lijeve polovine (to jest, izvorna matrica) neće se pretvoriti u jednu matricu. Podsjetimo da je jedna matrica matrica, gdje su elementi glavne dijagonale jedinice, a ostatak elemenata su nule. Kada početna matrica postane jedan, s desne polovine velike matrice dobit ćete matricu, obrnuti izvor.

Slika naslova pronalaženje inverzije 3x3 matrice korak 9

4. Zapišite inverzu matricu. Zapišite elemente koji se nalaze na desnoj polovini velike matrice, kao zasebnu matricu, koja je povratna matrica.

Metoda 3 od 3:

Koristeći kalkulator

jedan. Odaberite kalkulator koji radi sa matrinama. Uz pomoć jednostavnih kalkulatora, nemoguće je pronaći obrnutu matricu, ali to se može učiniti na dobrom grafičkom kalkulatoru, kao što su Texas Instruments TI-83 ili TI-86.

Slika naslova pronalaženje inverzije 3x3 matrice korak 11

2. Unesite izvornu matricu u memoriji kalkulatora. Da biste to učinili, pritisnite tipku MATRIX (MATRIX) ako jeste. U slučaju kalkulatora Texas Instruments, možda ćete trebati pritisnuti tipke 2 i matrice.

Slika naslovljena Pronađite inverzno od 3x3 matrice korak 12

3. Odaberite Uredi meni (uredi). Učinite ga pomoću tipki sa strelicama ili odgovarajuće funkcijsko dugme, koje se nalazi u gornjem dijelu tastature kalkulatora (lokacija gumba ovisi o modelu kalkulatora).

Slika naslova pronalaženje inverzije 3x3 matrice korak 13

4. Unesite oznaku matrice. Većina grafičkih kalkulatora može raditi sa 3-10 matrica, koje mogu označiti slova A-J. U pravilu jednostavno odaberite [A] za označavanje originalne matrice. Zatim pritisnite tipku ENTER.

Slika naslova pronalaženje inverzije 3x3 matrice korak 14

pet. Unesite veličinu matrice. Ovaj se članak odnosi na matrice 3x3. Ali grafički kalkulatori znaju kako raditi sa velikim matricama. Unesite broj reda, pritisnite tipku ENTER, a zatim unesite broj stupaca i ponovo pritisnite tipku Enter.

Slika naslova pronalaženje inverzije 3x3 matrice korak 15

6. Unesite svaki element matrice. Matrica se pojavljuje na ekranu kalkulatora. Ako je matrica već predstavljena ranije u kalkulatoru, pojavit će se na ekranu. Kursor će izdvojiti prvi element matrice. Unesite vrijednost prve stavke i pritisnite Enter. Kursor će se automatski preći na sljedeći element matrice.

Da biste unijeli negativnu vrijednost elementa, pritisnite posebno dugme sa "minusom" znakom, a ne dugme za upravljanje oduzimanjem - u suprotnom kalkulator neće moći ispravno obraditi ovaj broj.

Da biste otišli na određeni element matrice, koristite tipke sa strelicama.

Image naslovljena Pronađite inverzno od 3x3 matrice korak 16

7. Izađite iz matričnog načina administracije. Unošenje vrijednosti svih matričnih elemenata, kliknite gumb QUIT. (Ili, ako je potrebno, pritisnite tipke 2 i prestanite.) Dakle, ostavit ćete način primjene matrice i otići na glavni ekran kalkulatora.

Slika naslovljena Pronađite inverzno od 3x3 matrice korak 17

osam. Koristite posebno dugme da biste pronašli obrnutu matricu. Prvo, unesite matrični režim unosa (pritisnite tipku MATRIX) i pritisnite tipku Imena za odabir oznake matrice koje ste naznačili ranije (najvjerovatnije, [a]). Zatim pritisnite tipku za obrnutu operaciju, što je označeno kao

X - jedan

$x ^ {{- 1}}$ (možda ćete prvo morati pritisnuti 2 dugme). Na ekranu će se pojaviti

SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: - jedan

$A ^ {{- 1}}$ . Pritisnite ENTER za prikaz inverzne matrice.

Ne koristite tipku ^ (gumb za prelazak na stepen) da biste unijeli ^ -1 pritiskom na više tipki. Kalkulator neće razumjeti ovu operaciju.

Ako nakon klika na tipku obrnute operacije, na ekranu se pojavila poruka o pogrešci, najvjerovatnije inverzna matrica ne postoji. Da biste bili sigurni da, izračunajte identifikaciju matrica.

Image Navedeno Pronađite inverzno od 3x3 matrice Korak 18

devet. Pretvorite vrijednosti povratnih matričnih elemenata na obične frakcije. Kalkulator prikazuje vrijednosti elemenata povratne matrice u obliku decimalnih frakcija - u većini slučajeva takva matrica ne može biti napisana u odgovoru. Stoga se decimalne vrijednosti elemenata povratne matrice moraju pretvoriti u obične frakcije (u najrjeđim slučajevima svi elementi povratne matrice bit će cijeli brojevi).

U mnogim grafičkim kalkulatorima postoji dugme koje vam omogućava da pretvorite decimalne frakcije u obične. Na primjer, na kalkulatoru TI-86 kliknite matematiku, odaberite Ostalo (Ostalo), a zatim odaberite Frac i pritisnite Enter. Decimalne frakcije će se automatski pretvoriti u obične.

Savjeti

Opisane metode mogu se primijeniti na matrice čiji elementi nisu samo brojevi, već i varijable, nepoznati i čak algebarske izraze.
Kalkulacije Zapisnici na papiru, jer je izuzetno teško pronaći obrnutu matricu.
Postoje računarski programi koji mogu raditi sa bilo kakvim matrinama, uključujući matricu 30x30.
Provjerite odgovor dobijenog pomoću bilo koje metode opisane u ovom članku. Za ovo pomnožiti Izvor (m) i obrnuto (m) matrica. Zapamtite da je m * m = m * m = 1. Jedna matrica je matrica, gdje su elementi glavne dijagonale jedinice, a ostatak elemenata su nule. Ako rezultat množenja nije jednak 1, provjerite svoje proračune.

Upozorenja

Nisu sve matrice 3x3 reverzibilne. Ako je odrednica matrice 0, obrnuta matrica ne postoji. (Imajte na umu da postoji podjela u determinatu u proračunima i ne može se podijeliti na 0.)