Kako ručno crtati puno mandelbrota: 9 koraka

Mandelbrot Mnogi se sastoje od bodova izgrađenih na složenom oblikovanju ravnine Fraktal: Upečatljiv oblik ili oblik u kojem je svaki dio zapravo smanjena kopija cjeline. Nevjerojatno zasljepljujuće slike, skrivene u mnoštvu mandelbroke, moglo bi se posmatrati u 1500-ima zbog razumijevanja Raphaela bombardo u zamišljenim brojevima - ali to nije bilo, dok Benoit Mandelbrot i drugi nisu počeli istraživati fraktale, pa tako Otvorena je tajna svemira.

Sada kad znamo da postoji, možemo mu primitivnije pristupiti: rukom. Evo metode gledanja grube reprodukcije konfiguracije, samo da biste shvatili kako se to učini - tada ćete dobiti dublje zadovoljstvo o vizualizaciji, što možete učiniti s mnogim dostupnim računarskim programima ili koje možete vidjeti na CD-u ili DVD.

Korake

jedan. Razumiju glavnu formulu, često izrečena uz = z + c. Jednostavno znači da za svaku točku u Mandelbrot univerzumu, želimo da vidimo, i dalje izračunavamo Z,Dok se jedan od dva uvjeta ne pojavljuje - onda ga naslikamo da pokažemo koliko smo izračunali. Ne brini! Nakon sljedećih koraka postat će jasno.

2. Uzmite 3 višebojni olovke ili slomljene bojice ili savjete iz markera i crne olovke ili olovke za izradu obrisa.Razlog zašto želimo tri boje - napravit ćemo prvu aproksimaciju ne više od 3 ponavljanja (prolaza ili, drugim riječima, koristeći formulu do 3 puta u točki):

3. Crni marker, nacrtajte velike lakare na ploči, 3x3 metra, na listu papira.

4. Oznaka (također crna) srednji kvadrat (0, 0) `. Ovo je stalna točka točke - konstantna (`c`) tačno u središtu trga. Sad, recimo, svaki kvadratni 2 jedinice u širini, pa dodajte i / ili oduzmite 2 do / od vrijednosti svakog kvadrata NS i W , gde NS Prvi broj I W - sekunda. Kad se to učini, izgledat će kao da je ovdje prikazano. Kad god se pridržavate ćelije, vrijednosti (drugog broja) moraju biti iste, kad god slijedite ćelije dolje, vrijednosti x (prvog broja) bi trebale biti iste.

pet. Izračunati prvi prolaz ili Ponoviti , Formule. Ti, poput računara (u stvari, početno značenje riječi bilo je "Čovjek koji izračunava") može učiniti sebi. Krenimo od ovih pretpostavki:

Početna vrijednost z svakog kvadrata (0, 0). Kada je apsolutna vrijednost z za ovu tačku veća od ili jednaka 2, tada tački (i odgovarajući kvadrat), kako kažu, Izbjegava Mandelbrot setovi. Kad se to dogodi, slikat ćete kvadrat ovisno o broju ponavljanja formule koju ste u to vrijeme izjavili. Slika pod nazivom 217503 5a

Odaberite boje koje ćete koristiti za prolaze 1, 2 i 3. Pretpostavimo da će biti crveno, zeleno i plavo, za potrebe ovog članka. Image pod nazivom 217503 5b

Izračunajte z vrijednosti za gornji lijevi ugao ploče za poprečnu ploču, pod pretpostavkom da je početna vrijednost z iznosi 0 + 0i ili (0, 0) (pogledajte savjete za bolje razumijevanje ovih slika). Koristimo formulu z = z + c, Kao što je opisano u prvom koraku. To ćete brzo vidjeti u ovom slučaju,Z + Cjednostavno `sa` , kao nulti kvadrat je samo nula. Sa čim `C` je za ovo područje? (-2, 2). Slika pod nazivom 217503 5c

Odredite apsolutnu vrijednost ove točke apsolutne vrijednosti složenog broja (A, B) je kvadratni korijen iz A + B. Sada ćemo to uporediti sa poznatim značenjem: `2` , Možemo izbjeći izračunavanje kvadratnog korijena, uspoređujući A + B do 2, koji znamo, jednak je `4` .Na ovom izračunu, A =2 i B = 2. Image pod nazivom 217503 5D

([-2] + 2) =

(4 + 4) =

8, više od 4.

Pokazalo se iz pluralnosti Mandelbrota nakon prvog izračuna, jer je njegova apsolutna vrijednost veća od 2. Prikupite ga sa olovkom odabranom za narudžbu. Slika pod nazivom 217503 5e

Učinite isto za svaki kvadrat na ploči, osim središnjeg trga, koji neće biti lišen niza mandelbroke u 3. prolazu (i nikada neće biti lišen). Dakle, koristili ste samo dvije boje: boju prvih trajnih od svih vanjskih kvadrata, a treća boja prolaza za srednju liniju.

6. Pokušajmo trgovima 3 puta više , 9 do 9, ali još uvijek čuva maksimalno 3 ponavljanja.

7. Počnite od 3. reda, jer ovdje postaje zanimljivo odmah.

Prvi element, (-2, 1) veći je od 2 (jer (-2) + 1stali 5), pa povucimo jednu crvenu, jer iz prve prolaze izvlači skup mandelbrota. Image pod nazivom 217503 7a

Drugi element, (-1.5, 1) ne više od 2. Oslanjajući se na formulu apsolutne većine, x + y, gdje je x = -1.5 i y = 1: Slika pod nazivom 217503 7b

(-one.5) = 2.25

1 = 1

2.25 + 1 = 3.25, manje od 4, tako da je kvadratni korijen manji od 2.

Stoga se okrećemo na svoj drugi odlomak, izračunavanje z + C pomoću prečaca (X-Y, 2xY) za Z (pogledajte odjeljak Savjeti za koji se proizvodi ova prečica), sa X = -1,5 i y = 1: Slika pod nazivom 217503 7c

(-one.5) - 1 postaje 2.25 - 1, što postaje jedan.25;

2xy, gdje je x-1.5 i y 1, postaje 2 (-1.5), što je jednako -3.0;

Daje nam z od (1.25, -3)

Sad dodajte C u ovu ćeliju (dodajte x na x, y na y) dobivamo (-0.25, -2)

Provjerimo da li je više od dvije sada apsolutna vrijednost. Smatramo X + Y: Slika pod nazivom 217503 7d

(-.25) = .0625

-2 = 4

.0625 + 4 = 4.0625, čiji je kvadratni korijen veći od 2, izlazi nakon drugog odlomka: naša prva zelena!

Budući da ste sada upoznati sa proračunima, ponekad ćete moći reći kako se može izbjeći skup mandelbroke, samo gledanje brojeva. U ovom primjeru, komponenta Y ima vrijednost 2, u kojoj je vrijednost drugog broja na trgu i kvadrat veći od 4. Bilo koji broj, veći od 4, imat će kvadratni korijen više od 2. Pogledajte savete u nastavku za detaljnije objašnjenje.

Treći element s vrijednošću (-1, 1) ne izbjegava prvi odlomak: gdje i 1, i -1 na trgu - je 1, x + y je 2. Dakle, smatramo z + C koristeći naljepnicu (X-Y, 2xy), gdje Z: Slika pod nazivom 217503 7e

(-1) -1 postaje 1-1, što je 0;

2xY THEN2 (-1) = -2;

Z = (0, -2)

Dodavanjem C, dobivamo (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)

Ovo je sve ista apsolutna vrijednost, kao i prije (kvadratni korijen od dva, otprilike 1.41) - Nastavak trećeg ponavljanja: Slika pod nazivom 217503 7f

([-1]) - ([- 1]) postaje 1-1, što je jednako 0 (opet)...

Ali sada 2xy je 2 (-1) (- 1), što je 2, jednaka z vrijednosti (0, 2)

Dodajte C Get (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), zatim A + B je 10, mnogo više od 4.

Dakle, ovaj put se takođe izbjegava. U vašoj trećoj boji u vašoj trećoj boji, plavom i pređite na drugu, jer smo iz ove točke završili tri ponavljanja. Image pod nazivom 217503 7g

Činjenica da koristimo samo tri boje postaje očigledno kao problem, jer se šuma tek nakon 3 ponavljanja, oslikavale na isti način kao (0, 0), što "nikad" ne pobjeđuje - očigledno da ćete vidjeti još uvijek ćete vidjeti bliže do "Greška" Mandelbrot na ovom nivou detalja.

osam

Nastavite proračune u svakoj ćeliji , Iako nije utjecao ili ste dostigli maksimalni broj ponavljanja (broj boja koje koristite: 3 u ovom primjeru), u ovom trenutku ćete ga obojiti. Evo kako matrica 9 na 9 izvrši 3 ponavljanja na svakom kvadratu ... Izgleda kao nešto!

devet. Ponovite istu matricu ponovo sa velikim brojem boja (ponavljanja) da biste identificirali sljedeće nekoliko slojeva, ili bolje, napravite mnogo veću matricu za dugoročni projekt! Dobijate preciznije slike:

Slika pod nazivom Mandelgen_81_81_0_0_1_RGB_Fast_533

Povećanje broja ćelija je 81 ćelija sa svake strane. Obratite pažnju na sličnost iz matrice 9 do 9 gore, ali s mnogo glatkih ivica na krugu i ovalnom.

Slika pod nazivom Mandelgen_81_81_0_0_1_RGB2Black_fast_797

Povećanje broja boja (ponavljanja) - ima 256 nijansi crvene, zelene i plave boje ukupno 768 boja u odnosu na 3. Imajte na umu da sada možete vidjeti obrise poznatog Mandelbro-a "Jezero" (ili "Greške", Ovisno o tome kako pogledate). Nedostatak je količina vremena koje zahtijeva, ako možete izračunati svako ponavljanje od 10 sekundi, to je oko 2 sata za svaku ćeliju, ili tako, jezero Mandelbrot. Iako je ovo relativno mali dio matrice 81 na 81, i dalje će biti moguće, proći će godinu da ga završi, čak i ako radite u roku od nekoliko sati svakog dana. Ovde je prikladan silicijum tip računara.

Savjeti

Zašto z = (x-y, 2xy)?

Da biste pomnožili dva složena broja kao (A, B) C (C, D), ovdje koristite sljedeću formulu: Članak mathworld-a: (A, b) (c, d) = (AC - BD, BC + AD)
Neprestano pomnoženo sa kvadratnim korijenom negativnog broja 1, često se zove `Ja` . Složeni broj (0, 0), na primjer, 0 + 0i i (-1, -1) (1) + (-1 * i) .Imajući u vidu da kompleksni broj ima "Stvaran" i"Mimic" dio i potonji broj.

Još s nama? Zapamtite da su uvjeti ali i sa - Stvaran, Itermine B i D Zamišljen . Stoga se, kada se zamišljeni članovi pomnoženi, kvadratni korijen negativnog 1 pomnoženo sama po sebi, daje negativan 1, negirajući rezultat i čini ga Stvaran- Dok je broj "ad" i "BC zamišljen, jer je kvadratni korijen negativnog 1 i dalje izraz tih proizvoda. Stoga imamo AC - Stvaran , i BC + AD zamišljen.
Budući da smo postavljeni u kvadrat broja, umesto da se umnožavamo dva različita broja, može se malo pojednostaviti kao A = s, a in = D, imamo proizvod u obliku (A-B, 2AB). I budući da se prikazujemo "Sveobuhvatni avion" na "Kartezijanski avion", sa `X` Osovina koja predstavlja "Stvaran" i `Y` Osovina koja predstavlja "zamišljen", To će se odnositi (X-y, 2xy).

Ako ponovo izbrojite ćeliju i ponovo, i imajte na umu da je rezultat, koji je potpuno isti kao onaj koji ste već dobili za ovu ćeliju, znate, ušli ste u beskrajni ciklus - da kavez nikada ne izbije! Dakle, možete dobiti etiketu, konačnu boju svojih ćelija i prelazak na sljedeću. (0, 0), očito, jedna od tih ćelija.

Želite znati više o dodjeli apsolutne vrijednosti integriranog broja, ne radi na proračunima?

Apsolutna vrijednost složenog broja (A, B) je kvadratni korijen A + B, kao i ali i `B` su predstavljeni pod pravim uglom jedni drugima na kartezijskoj mreži (x i u koordinatama, respektivno). Stoga, pošto znamo da je skup mandelbroke ograničen na vrijednost 2, a kvadrat 2 = 4, možemo zaobići kvadratni korijenje, jednostavno pogledajte je li x + y> = 4.

Ako Catat ima duljinu> = 2, tada bi hipotenuzi (dijagonalna strana) također trebala biti veća od 2. Ako ne vidite zašto je tako, pogledajte pravokutne trouglove na kartezijskoj mreži, a ovo će postati očigledno ili jednostavno razmislite o tome ovako: 2 = 4 i dodavanje drugog pozitivnog broja na ovo (i uklonite negativan broj) Broj do kvadrata, uvijek postajemo pozitivni) ne može dovesti do rezultata manje od 4 . Dakle, ako jedna komponenta X ili u integriranom broju ima vrijednost 2 ili više, apsolutna vrijednost ovog broja je veća od ili jednaka 2, a skup mandelbroke-a izbjegava.

Za izračun "Virtualna širina" Svaka ćelija, podijelimo "Virtualni prečnik" na "Broj ćelija minus jedan". Koristimo virtualni promjer 4 u gore navedenim primjerima, kao što želimo pokazati sve u radijusu 2 (skup mandelbroke je ograničen na vrijednost 2). Za trostranu aproksimaciju, koji `4 / (3 - 1)` , što je jednako `4/2` , Šta odgovara `2` . Za 9-strana je to bilo `4 / (9 - 1)` , što je jednako `4/8` , Šta odgovara `0,5` . Koristite istu veličinu virtualnih ćelija za visinu i širinu, čak i ako napravite jednu stranu duže od drugog, u protivnom će se set izobličiti.

Korake

Savjeti

Upozorenja