Kako izgraditi fraktal Mnogi Apollo: 10 koraka

Mnogi Apolon je vrsta fraktalnog, koja se gradi kroz stalno smanjuje promjer krugova u jednom velikom krugu. Svaki krug u skupu Apolona "tangent" u susjedne krugove, drugim riječima, krugovi u setu Apolona dolaze u kontakt samo u beskrajno niskoj točki. Nazvan je u čast grčke matematike Apolonia Perga. Ova vrsta fraktalnog umjerenog stepena složenosti može se izgraditi na računaru ili ručno, stvara prekrasnu i svijetlu sliku. Pogledajte korak 1 u nastavku da biste započeli.

Korake

Dio 1 od 2:

Saznajte o osnovnim pojmovima

Ako vas jednostavno zanima izgradnja skupa Apolona, nije potrebno provoditi matematičke studije fraktalnog. Međutim, ako želite razumjeti ovaj fraktalni dublje, važno je znati definicije niza koncepata koji će se koristiti u raspravi o ovoj temi.

jedan. Odredite ključne pojmove. Sledeći uvjeti koriste se u donjim uputama:

Mnogi Apolon: Jedan od nekoliko imena fraktalnog tipa, koji se sastoji od grupe krugova koji se nalaze u velikom krugu i odnosi se na sve susjedne. Naziva se i soddy krugovi ili "ljubljenje krugova".
Polumjer kruga: udaljenost od centra mjesta na točku koja leži na krugu. Obično označava varijablu "r".
KUVISIZACIJA KRUGA: POZITIVNA ILI NEGATELJNA VRIJEDNOST RADIUS ili ± 1 / r. Zakrivljenost je pozitivna za vanjsku stranu obima i negativno - za interne.
Tanner: Izraz se odnosi na linije, avione i brojke koje se presijecaju u jednoj beskrajno niskoj točki. U mnoštvu Apolona odnosi se na činjenicu da se svaki krug odnosi na susjedno samo u jednom trenutku. Imajte na umu da se raskrsnici nedostaje - tangentne figure se ne preklapaju.

Slika pod nazivom Kreirajte apolonski brtvu korak 2

2. Pridržavajte se teoreme za decentere.Teorem Decertes je formula koja se koristi prilikom brojanja veličina krugova u skupu Apolona. Ako definiramo zakrivljenost (1 / R) bilo kojih tri kruga poput SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:, B, i C U skladu s tim, teorem navodi da zakrivljenost kruga (ili krugova), koja je tangenta za sva tri kruga određena D,Jednako: d = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A).

Za naše potrebe, mi ćemo koristiti samo odgovor koji smo dobili, stavljajući znak plus ispred kvadratnog korijena (drugim riječima, ... +2 (√ (...))). Trenutno je dovoljno znati da se metoda oduzimanja u jednadžbi koristi u drugim povezanim zadacima.

2. dio 2:

Izgradnja seta Apolona

Mnogi Apolon uzima oblik prekrasnog fraktalnog dizajna od rezanja veličine krugova. Matematički, mnogi Apolon je beskonačno komplikovan, ali koristite li računarski program ili tradicionalni alati za crtanje, na kraju dostižete taj trenutak kada je nemoguće izvući manji krug. Imajte na umu da tačnije crpite krug, to će više odgovarati višestrukim apolonom.

jedan. Sakupljajte digitalni i analogni alat za crtanje. U koracima u nastavku izgradit ćemo svoje jednostavne brojne apolone. Možete izgraditi razne sebe ili koristiti računar. U svakom slučaju, morate izvući savršeno glatke krugove. Ovo je prilično važno. Budući da svaki krug u fraktalu mora savršeno uklopiti sa susjednim krugovima, bilo koji čak i lagano deformirani krug može pokvariti vaš krajnji rezultat.

Ako na računaru napravite puno na računaru, trebat će vam program koji vam omogućuje da lako izvučete krug fiksnog radijusa. GFIG - Vector Graphics proširenje za besplatni softver za uređivanje slike GIMP. Može se koristiti u širokom rasponu drugih grafičkih programa. Možda će vam trebati kalkulator i uređivač teksta ili redovna prijenosna računala za napomene radijusa i zakrivljenosti.
Da biste ručno izvukli postavku, trebat će vam kalkulator (poželjna naučna ili grafička), olovka, cirkul, linija (po mogućnosti sa milimetarskom markicom), milimetarskom papiru i bilješki za bilješke.

Slika pod nazivom Kreirajte apolonski brtvu korak 4

2. Započnite s jednim velikim krugom. Vaš prvi zadatak je jednostavno izvući jedan veliki, savršeno gladak krug. Što je veći krug, to je teže biti vaš fraktal, zato pokušajte izgraditi takav krug, koji veličinu papira omogućava ili tako da se može u potpunosti vidjeti na ekranu u grafičkom programu.

Slika pod nazivom Kreirajte apolonski brtvu korak 5

3. Nacrtajte manji krug u prvom krugu koji će ga dodirnuti u jednom trenutku. Dakle, nacrtajte krug unutar našeg prvog kruga, bit će manji od glavne, ali još uvijek prilično velik. Točna veličina drugog kruga ovisi o vama, jer nema postavljene veličine. Međutim, nacrtajmo drugi krug tako da zauzima pola glavnog kruga. Drugim riječima, njegov centar je sredina većeg kruga krug.

Zapamtite da su u skupu Apolona svi krugovi tangenti jedni drugima. Ako koristite cirkulaciju kada izgradite krugove, ponovo stvorite ovaj učinak stavljanjem oštrog kraja cirkulacije na sredinu poluprečnog kruga glavnog kruga i prilagođavajući kružnu olovku na takav način da je jednostavno sijao rub kruga, a zatim nacrtajte manji unutrašnji krug.

Slika pod nazivom Kreirajte apolonski brtvu korak 6

4. Nacrtajte identičan krug pored manjeg unutrašnjeg kruga. Pa povučemo još jedan obim pored prvog. Opseg treba tangentni u oba kruga: vanjsku veću i unutrašnju manju, što znači da oba unutrašnja kruga dolaze u kontakt u središtu velike.

Slika pod nazivom Kreirajte apolonski brtvu korak 7

pet. Primjeni Decarts Teorema za izračunavanje dimenzija sljedećih krugova. Na trenutak, prestanite slikati. Sad kad imamo tri obima u fraktalu, možemo koristiti Decertes Theorem da pronađemo polumjer sljedećeg kruga koji ćemo izvući. Sjetite se Descarte Teorem jednadžba d = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A), gde su a, b, i c zakrivljenost tri tangentna kruga i d - zakrivljenost obima tangente na sve tri. Stoga, pronaći polumjer našeg sljedećeg kruga, izračunajmo zakrivljenost svakog obima koje imamo dok ne možete pronaći zakrivljenost sljedećeg kruga, a zatim izračunati svoj polumjer.

Odredimo radijus vanjskog obima kao jedan. Kako su drugi krugovi unutar njega, bavimo se "unutrašnjom" zakrivljenom zakrivljenju (umjesto vanjskog) i zato znamo da je negativan. - 1 / R = -1/1 = -1. Dakle, zakrivljenost velikog kruga je jednak -jedan.

Radijus manjih krugova je polovina polumjera velik, odnosno 1/2. Budući da ti krugovi dolaze u kontakt međusobno i glavni krug od strane vanjskih strana, bavimo se vanjskom zakrivljenom, pozitivnom. 1 / (1/2) = 2. Stoga je zakrivljenost manjih krugova jednaka 2.

Sada znamo da je = -1, b = 2, i c = 2 u našoj jednadžbi teoreme za decente. Izračunajmo D:

d = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 ×--1))

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-2 + 4 + -2))

D = -1 + 2 + 2 ± 0

d = -1 + 2 + 2

D = 3. Zakrivljenost sljedećeg obima 3. Od 3 = 1 / R, radijus ovog kruga bit će jednak 1/3.

Slika pod nazivom Kreirajte apolonski brtvu korak 8

6. Nacrtajte sledećih nekoliko krugova. Da biste nacrtali sljedeće dva kruga, koristite vrijednosti radijusa koje ste upravo pronašli. Ne zaboravite da su te civine tangente na onima čija je zakrivljenost korištena prilikom brojanja teorema decertera. Drugim riječima, oni će se odnositi i sa glavnim i sekundarnim krugovima. Tako da se ti krugovi tiču još tri druga, morate ih nacrtati u slobodnoj površini na vrhu i dnu u glavnom krugu.

Imajte na umu da je radijus ovih krugova 1/3. Stisnite 1/3 sa ivice vanjskog kruga, a zatim nacrtajte novu. Mora biti tangentna u sva tri obližnje krugove.

Slika pod nazivom Kreirajte apolonski brtvu korak 9

7. Dakle, nastavite dodavati krug. Budući da su frakteri, mnogi Apollo je beskonačno složen. To znači da možete dodati obim povećanju i manje fraktalnog. Da li ste ograničeni samo na tačnost svojih alata (ili ako koristite računar, sposobnost grafičkog programa za zum). Svaki krug, bez obzira na to, trebalo bi tangetirati još tri druga. Da biste nacrtali svake naredne krug, koristite zakrivljene vrijednosti tri tangena na njene krugove za teoremu decentera. Zatim uz pomoć odgovora precizno nacrtajte novi krug.

Imajte na umu da je skup koji odabran za izgradnju simetrično, tako da je polumjer jednog kruga isti kao što je polumjer obima identičnog. Međutim, nisu svi setovi Apolonog simetričnog.

Napravimo još jedan primjer. Pretpostavimo nakon izgradnje poslednjih nekoliko krugova, htjet ćemo nacrtati krug tangent u naš treći par i glavni krug. Zakrivljenost ovih krugova je 3, 2 i -1, respektivno. Sada uključujemo ove brojeve u teoremu Decarte, postavljajući taj a = -1, b = 2 i c = 3:

d = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 ×--1))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-2 + 6 + -3))

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (1))

d = 2, 6. Imamo dva odgovora! Međutim, znamo da će naš novi krug biti manji od tangenta, to znači da će imati smisla biti samo važnost zakrivljenosti 6 (i radijus 1/6).

Drugi odgovor, 2, u stvari se odnosi na hipotetički krug na "drugoj strani" tačke tangenta u drugi i treći krug. Ovaj krug je tangent i tih krugova i na glavnu, ali preći će obim koji smo već izvukli, tako da možete zanemariti ovaj odgovor.

Slika pod nazivom Kreirajte apolonski brtvu korak 10

osam. Kao test, pokušajte izgraditi asimetrične brojne Apollo, mijenjajući veličinu drugog kruga. Svi setovi Apolona počinju graditi iz istog - sa velikim vanjskim krugom, koji je granica fraktale. Međutim, nije potrebno da je polumjer drugog kruga bio 1/2 prvo. Upravo smo odlučili uzeti te brojeve za jednostavnost i lakoću u razumijevanju. Za zadovoljstvo pokušajte izgraditi novi set s drugim krugom druge veličine - to će dovesti do novih smjerova u studiji.

Nakon izgradnje drugog kruga (bez obzira na njegovu veličinu), vaša sljedeća akcija trebala bi biti izgradnja jednog (ili više) obima, koja je tangentna i u drugoj i do glavnih vanjskih krugova - nema samo istinskog načina za izgradnju to. Nakon toga možete koristiti Decertes teoremu kako bi se utvrdio radijus narednih krugova, kao što je prikazano gore.